Lernpfad Differenzialgleichungen

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Lernpfad
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In diesem Lernpfad kann man sich selbsttätig Fähigkeiten aneignen, um Differenzialgleichungen zu lösen.

  • Zeitbedarf: etwa 5 Unterrichtsstunden (stark abhängig von den vorhandenen Kompetenzen in Differenzial- und Integralrechnung)
  • Einsatz: Letztes Jahr der Oberstufe (z.B. in Hessen)


Inhaltsverzeichnis

Wo kommt man mit Differenzialgleichungen in Berührung?

1. Beispiel

In der 10.Klasse wurde erklärt, wie sich aus einem Kapital K bei einer Verzinsung mit 3%
in t Jahren das Kapital K(t) = K \cdot 1,03^t ergibt; (Zinseszins; vgl. dazu z.B.)

Über die Differenzialrechnung ergibt sich dann für die Wachstumsgeschwindigkeit des Kapitals K' (t) = ln 1,03 \cdot K(t) = a \cdot K(t)

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist also proportional zum derzeitigen Kapital.


2. Beispiel

Entsprechend ist die Wachstumsgeschwindigkeit eines Tierbestandes proportional zum Bestand, also N'(t) = k \cdot N(t)


3. Beispiel

Die Zerfallsrate von radioaktiven Kernen ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne: N'(t)= -k \cdot N(t)


4. Beispiel

Für die Schwingung eines Schraubenfederpendels ergibt sich die Differenzialgleichung:

-D \cdot s(t)=m \cdot \ddot s(t)

oder

 \ddot s(t) = \frac{-D \cdot s(t)}{m}

Um was geht es?

In allen vier Fällen überlegt man, wie man die jeweiligen Differenzialgleichungen lösen kann, d.h. man sucht geeignete Funkionen für K, N oder s.

Z.B. für s findet man die Funktionsgleichung s(t) = sin(a \cdot t)
Pdf20.gif ausführliche Darstellung

Maehnrot.jpg
Merke:

Wichtige Erkenntnis in dieser Phase:

Wenn wir in der Algebra die Lösung z.B. der Gleichung 3x^2 +5=17 suchen, dann wollen wir Zahlen finden; beim Lösen einer Differenzialgleichung bestimmen wir Funktionen, welche diese Gleichung lösen.


Vorgegebene Lösungen testen

Beispiel:

zur Differenzialgleichung f '(x) = x + f(x) wird angeboten:

f (x)= ex − x − 1

Probe:

Beim Einsetzen ergibt sich für die linke Seite LS: ex − 1

und für die rechte Seite RS: ex − x − 1 + x= ex − 1

q.e.d.

Untersuche auf die gleiche Weise:

1. Aufgabe

Differenzialgleichung:  \!\ f''(x) = -f(x)

f(x) = sin(x)\quad

ja


2. Aufgabe f'(x) = \frac{2f(x)}{x}

f(x) = x2+2

nein

Voraussetzungen für systematische Lösungsmethoden

Betrachten wir zunächst eine ganz einfache Differenzialgleichung, nämlich:

 \!\ f'(x)=3x^2

Durch "zielgerichtetes Probieren" wird man schnell als Lösung finden:

 \!\ f(x)= x^3+C

und dann erscheint klar, dass man hier nur "einfach" integrieren muss.

Maehnrot.jpg
Merke:

Das Integrieren ist die Umkehroperation zum Differenzieren.

Aber was macht man bei folgender Differenzialgleichung:  \!\ f ' (x) = \frac{2f(x)}{x} für f(x) > 0 und x > 0

Eine solche Gleichung läßt sich leicht nach Termen mit f und nach Termen nur mit der Variablen x ordnen:

\frac{f '(x)}{f(x)} =\frac{2}{x}

Die rechte Seite ist dann leicht zu integrieren, und für die linke Seite braucht man die Substitutionsformel...


  • Falls die Integralrechnung jetzt überhaupt nicht zur Verfügung steht, sei auf folgende Lernpfade verwiesen:
Mathematik-digital Pfeil-3d.png  Einführung in die Integralrechnung
Crystal 128 forward.png Lernpfad Integralrechnung
  • Falls die Integralrechnung und der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung nur "aufzufrischen" sind, ist dieses Angebot zu empfehlen.


Maehnrot.jpg
Merke:

Jedenfalls wird zum weiteren Bearbeiten dieses Lernpfades benötigt:

  • Die Kettenregel

h(x)=f(g(x))\Rightarrow h'(x)=f'[g(x)]\cdot g'(x)


  • Die Substitutionformel

\int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f (z)\,dz= F(z); wobei z=g(x) und F Stammfunktion von f ist


Beispiel zur Anwendung der Substitutionsformel


Maehnrot.jpg
Merke:

Als Anwendung der Substitutionsformel wird häufig verwandt ("Logarithmische Integration"):

\int\frac{f'(x)}{f(x)}  \,dx = ln|f(x)| + C


Separation der Variablen

Wir beginnen mit einer "ganz einfachen" Differenzialgleichung, von der wir die Lösung vermutlich schon kennen:


1. Beispiel

 \!\ f '(x) = f(x)\quad  mit \quad f(x) > 0

Diese Gleichung läßt sich wieder leicht nach Termen mit f und nach Termen nur mit der Variablen x ordnen (Trennung oder auch Separation):

\frac{f ' (x)}{f(x)} = 1

Integrieren auf beiden Seiten:

\int \frac{f ' (x)}{f(x)} \,dx = x+C \quad \Rightarrow

ln f(x) = x + C \Rightarrow

e x + C = f(x) \Rightarrow

f(x) = a · e x (mit a = eC)

Mit f(x) = a · e x ergibt sich also eine ganze Schar von Lösungen, welche aber i. wes. durch die e-Funktion geprägt ist.


2. Beispiel Wir hatten uns oben schon an folgender Differenzialgleichung versucht:

f ' (x) = \frac{2f(x)}{x} für f(x) > 0 und x > 0

Separation:

\frac{f '(x)}{f(x)} =\frac{2}{x}

Nach dem Integrieren folgt:

ln f(x)= 2 ln(x) + C \Rightarrow

e 2 ln(x) + C = f(x) \Rightarrow

(e^{ln x})^2 \cdot e^C = f(x)

f(x) = a · x2 (mit a = eC)


Fünf Aufgaben

1. Aufgabe Allgemeines exponentielles Wachstum; die momentane Änderungsrate ist proportional zum jeweiligen Bestand; also:

f'(t) = k \cdot f(t)

f(t) > 0 \quad und \quad k\epsilon \mathbb{R}

\frac{f'(t)}{f(t)} = k

 \!\ ln f(t)=kt+C

f(t)=a \cdot e^{kt}

mit a > 0, während k auch negativ sein kann (z.B. beim Zerfall).



2. Aufgabe

Löse die Differenzialgleichung f '(x) =\frac{-f(x)}{x}
(wieder für f(x) > 0 und x > 0)

\frac{f '(x)}{f(x)} =\frac{-1}{x}

lnf(x)=-ln(x)+C\quad \Rightarrow f(x)=e^{-ln(x)+C}\quad \Rightarrow

f(x)=(e^{ln(x)})^{-1} \cdot e^c\Rightarrow 

f(x)=\frac{1}{x}\cdot a=\frac{a}{x}



3. Aufgabe f'(x)=\frac{x}{(f(x))^4}
für f(x)>0

 f(x)=\sqrt[5]{\frac{5x^2}{2}+C   }

4. Aufgabe x \cdot f'(x)-f(x)=5
für x>0 und f(x)>0

\frac{f'(x)}{f(x)+5} =\frac{1}{x}

 \!\ ln(f(x)+5)=ln(x)+C

 \!\ f(x)=ax-5

5. Aufgabe  f'(t) = k \cdot (G-f(t))

mit f(t) < G

\!\ f'(t) = k \cdot (G-f(t))

Separation auch für diese Differenzialgleichung:

\frac{f'(t)}{G-f(t)} = k \quad \Leftrightarrow \quad
\frac{f'(t)}{f(t)-G} = -k \quad \Leftrightarrow \quad
\ln(|f(t)-G|)=-kt + C

Fallunterscheidung:

1.Begrenzte Zunahme, also f(t) < G

\ln(G - f(t)) = -kt + C \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot e^{-kt} = G - f(t) \quad \Leftrightarrow

f(t) = G − a · e−kt mit a = eC > 0

Grenze1.jpg


2.Begrenzte Abnahme, also f(t) > G (z.B. Abkühlung Kaffee auf Raumtemperatur)

\ln(f(t)-G) = -kt + C \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot e^{-kt} = f(t)-G \quad \Leftrightarrow

f(t) = G + a · e−kt

Weitere Anwendungen

6. Aufgabe

Bestimme alle Funktionen f, für die gilt: Die Tangente an den Grafen von f an der Stelle x0 schneidet die x-Achse an der Stelle x0 - 4

Über die Tangentengleichung erhält man t(x0 - 4) = 0 = f '(x0).(x0-4-x0) + f(x0)

Daraus ergibt sich: f(x0) = 4 f '(x0) oder (x0 ist beliebig wählbar)

{\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{4} }

Aus beidseitigem Integrieren folgt:

ln(|f(x)|) =\frac{1}{4} x +C\quad und \quad e^{0,25x} \cdot e^C =|f(x)|

Die Fallunterscheidung weist folgende Funktionenenscharen als Lösungen aus (mit a>0):

f(x)=+a\sqrt[4]{e^x} \quad    oder\quad f(x)=-a\sqrt[4]{e^x}

CSchmitt TangenteDiffgl.jpg

In der Grafik sieht man deutlich, wie (z.B. für den Scharparameter a = +1) die Tangente an der Stelle 4 die Nullstelle 4-4=0 hat.


7. Aufgabe

Bestimme alle Funktionen f, für die gilt: Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x0 verläuft durch den Punkt P(0|-1)

(Ansatz; vgl. Aufgabe 6)

f'(x_0)\cdot (-x_0) + f(x_0) = -1

\!\ \frac{f'(x_0)}{1+f(x_0)} = {\frac{1}{x_0} }

\int_{}^{}  \frac{f'(x)}{1+f(x)}\,dx = \int_{}^{}  \frac{1}{x}\,dx

ln(|1+f(x)|) = ln(|x|) + C

Aus den Fallunterscheidungen ergeben sich die Lösungsfunktionen

f(x) = \pm ax-1

welche also in diesem Falle jeweils mit ihren Tangenten üereinstimmen.

8. Aufgabe

Bestimmen Sie alle Funktionen mit f(x)\ge 0 , für die folgendes gilt:

Die Normale des Graphen der Funktion f an der Stelle x0 schneidet die x-Achse an der Stelle x0+2.

Zunächst ist die Gleichung für eine Normale an der Stelle x0 einer Funktion f zu notieren.

n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot \left( x-x_0 \right) + f(x_0)

An der Stelle x0+2 soll die Normale n an der Stelle x0 des Graphen der Funktion f die x-Achse schneiden, der Funktionswert der Normale n ist an der Stelle x0+2 daher Null.

Die Normale soll also durch den folgenden Punkt verlaufen.

P(x_0+2|0)

Wird dies in der Gleichung für eine Normale eigesetzt, ergibt sich folgendes (zwischen x und x0 muss hier genau unterschieden werden, da x0+2 nur für x eingesetzt wird, da dies die Variable der Normale ist).

0=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot \left( x_0+2-x_0 \right) + f(x_0)

0=-\frac{2}{f'(x_0)}+f(x_0)

Da der Wert für x0 beliebig ist, können wir x0 durch x ersetzten.

0=-\frac{2}{f'(x)}+f(x)

Nun wenden wir das Separationsverfahren an und formen entsprechend um.

0=-\frac{2}{f'(x)}+f(x) \qquad \qquad | +\frac{2}{f'(x)}

\frac{2}{f'(x)}=f(x) \qquad \qquad | \cdot f'(x)

2=f'(x) \cdot f(x)

Nach der Integration auf beiden Seiten folgt.

2x+C = \frac{ \left( f(x) \right) ^2 }{2}

Nun wird nach f(x) umgeformt und wir erhalten folgenden Term für die Funktion f.

f(x)=\sqrt{ 4x+K}

Zur Illustration der Graph von f und die Normale an der Stelle 2:

Liberté Bildschirmfoto 2013-05-01 um 17.47.09.png


Aufgabe 9

Bestimme alle Funktionen mit f(x)>0, für die gilt:

Die Normale des Grafen von f an der Stelle x0 schneidet die y-Achse im Punkt P(0|f(x0)+4).

(Ansatz; vgl. Aufgabe 8)

f(x_0)+4=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot \left( -x_0 \right) + f(x_0) \qquad \qquad | -f(x_0)

4=\frac{x}{f'(x)} (Wir haben x0 durch x ersetzt, da x0 beliebig wählbar ist)

Nun lösen wir nach f'(x) auf und erhalten folgende Gleichung.

f'(x)=\frac{x}{4}

Wir integrieren auf beiden Seiten und erhalten so die Funktion f.

f(x)=\frac{x^2}{8} +C

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2013-05-01 um 20.03.42.png

Weitere Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen

  • Grafischer Lösungsansatz
  • Numerischer Lösungsansatz
  • Einsatz eines Simulationsprogrammes

Ausführliche Informationen über diese Themen gibt es hier.



Entstanden unter Mitwirkung von:


--CSchmitt 19:09, 4. Aug. 2011 (CEST),--CSchmitt 14:25, 30. Apr. 2013 (CEST), --Liberté 18:55, 1. Mai 2013 (CEST)