Lernpfad zum Thema Höhensatz

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Lernpfad
Kurzinfo
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Voraussetzungen: Satz des Pythagoras, Ähnlichkeit

Aufgaben:

  • Überlege dir in dem angehängten Bild, wie die kleinen Dreiecke BCD und BC'D' miteinander zusammen hängen. Berücksichtige dabei, dass im Dreieck ABC die gegebene Strecke h die Höhe auf die Seite b ist und der Winkel beim Punkt B 90° beträgt.

Höhensatz'.jpg

  • Berechne den Flächeninhalt des großen Dreiecks AC'G. Benutze dabei nur die in der Zeichnung angegebenen Größen. (Zeit: etwa 15 Minuten)


  • In der folgenden Figur soll gelten: \overline{AB'}=\overline{BC}, \overline{B'D'}=\overline{BD}, \overline{AD'}=\overline{CD}. Was kannst du über die Dreiecke AD'B' und CDB aussagen?

Höhensatz2'.jpg

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BEB'. Benutze wieder nur gegebene Größen. (Zeit: etwa 15 Minuten)
  • Vergleiche die beiden großen Dreiecke AC'G aus Teilaufgabe 1. und 2. und BEB' aus Teilaufgabe 3. und 4. Was kannst du über die beiden Dreiecke aussagen? Begründe deine Antwort. (Zeit: ca. 5 Minuten)
  • Mit deiner Erkenntnis aus Aufgabe 5 kannst du die Formeln aus Aufgabe 2. und 4. weiter bearbeiten. Welches Ergebnis erhältst du? (ca. 5 Minuten)
  • Formuliere einen Satz, der dein Ergebnis zusammen fast, und zwar in Formeln und in Worten (die Strecken p und q nennt man Hypotenusenabschnitte). (Zeit: ca. 5 Minuten)


Der Satz, den du gerade bewiesen hast, heißt "Höhensatz". Für den Höhensatz gibt es viele verschiedene Beweise. Hier kannst du ihn für verschiedene Dreiecke überprüfen. Bewege dazu einfach die Punkte A, B und C und vergleiche die beiden angegebenen Flächeninhalte.

  • Das Dreieck im folgenden Bild hat einen 90°-Winkel bei dem Punkt B. Finde weitere rechtwinklige Dreiecke und wende mehrmals den Satz des Pythagoras an. (Beachte dabei, dass du die Seite b auch anders schreiben kannst.) Beweise so nochmals den Höhensatz. (ca. 15 Minuten)

Höhensatz3'.jpg

  • Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 4cm und 5cm soll ein Quadrat konstruiert werden, das den selben Flächeninhalt besitzt. Führe die Konstruktion mit Hilfe des bewiesenen Satzes durch. Begründe dabei alle Schritte. (ca. 15 Minuten)

Wenn du bisher alles verstanden hast, solltest du dein Wissen in diesem Quiz testen und diese Rechenaufgabe lösen.


Wenn du jetzt noch Zeit hast, findest du hier noch einige weitere Aufgaben zum Thema Höhensatz:



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