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Relative Häufigkeit

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Der Begriff der relativen Häufigkeit wird definiert und eingeübt. Erhöht man die Anzahl der Versuche, so erhält man die Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen.
  • Zeitbedarf: 1 Unterrichtsstunde
Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Absolute und relative Häufigkeit

Vor dem Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter im Beisein der beiden Mannschaftskapitäne zur Seitenwahl eine Münze. Was ist der Sinn dieses Münzwurfs?


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem

  1. mehrere Versuchsausgänge (Ergebnisse) möglich sind,
  2. bei Wiederholung des Experiments verschiedene Ergebnisse eintreten können,
  3. sich die Ergebnisse nicht vorhersagen lassen.


Beispiel: 30 Schüler einer 6. Klasse werden befragt, ob sie ein Handy besitzen.

Mögliche Versuchsausgänge (Ergebnisse) sind:

  • Der Schüler besitzt ein Handy.
  • Der Schüler besitzt kein Handy.

Bei jeder einzelnen Befragung eines Schülers ist jedes Ergebnis möglich und das Ergebnis lässt sich vor der Befragung nicht vorhersagen.

Man stellt etwa fest, dass von den 30 Schülern der 6. Klasse 24 ein Handy besitzen.

Wieso kann man dies als Zufallsexperiment ansehen?



Definition

Die absolute Häufigkeit H(E) des Ereignisses E: der Schüler besitzt ein Handy beträgt im Beispiel 24.

Das ist die Anzahl der Fälle, in denen das Ereignis E eintritt.

Der Stichprobenumfang n beträgt in diesem Fall 30.

Die relative Häufigkeit h(E) des Ereignisses E: der Schüler besitzt ein Handy ist durch den Quotienten h(E) = {H(E) \over n} = {24 \over 30} = {5 \over 6} gegeben.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die relative Häufigkeit h(E) eines Ereignisses E ist der Quotient der absoluten Häufigkeit H(E) des Ereignisses E durch die Anzahl n der Versuche.

h(E) = {H(E) \over n}


Beispiele

  • Auf dieser Seite (halte beim Anklicken die Shift-Taste gedrückt!) gibst du die Anzahl n, wie oft gewürfelt werden soll, ein und klickst dann auf "Würfeln". Probiere es wiederholt für n = 6, 10, 30, 50 aus.

Beachte: Als Standard ist n = 50 eingestellt, wenn du nur auf Würfeln klickst, wird stets 50 mal gewürfelt. Für andere Werte für n, musst du beim Wiederholen den Wert wieder neu eingegeben und dann auf Würfeln klicken!

Ergeben sich immer die gleichen Tabellen?

Was ist der Vorteil der relativen Häufigkeit gegenüber der absoluten Häufigkeit?

Pdf20.gif Lösungen (Mit gedrückter Shift-Taste anklicken!)


  • Öffne diese Seite (halte beim Anklicken die Shift-Taste gedrückt!). Gib als Anzahl der Versuche 10 ein.

Wähle zuerst "Münzwurf" als Zufallsexperiment aus und klicke dann auf "Zeichnen". Erkläre, was in dem Diagramm dargestellt wird. Welche Ergebnisse haben sich bei den zehn Wiederholungen des Münzwurfs jeweils ergeben?

Pdf20.gif Lösungen (Mit gedrückter Shift-Taste anklicken!)


  • Wähle auf der Seite des vorhergehenden Beispiels [1] "Würfeln einer Sechs". Wähle für n = 6. Erkläre, was im Diagramm dargestellt wird. Wiederhole den Versuch.

Wähle weiterhin n = 10 und wiederhole den Versuch fünf mal.

Die Vierfeldertafel

In der Klasse 6a sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Von den Jungen haben 15 ein Handy, von den Mädchen 9. Man kann diesen Sachverhalt schön in einer Vierfeldertafel darstellen

Klasse 6a Jungen Mädchen
Handy 15 9 24
kein Handy 3 3 6
18 12 30

Man kann aus dieser Tabelle den beschriebenen Sachverhalt gut ablesen.

Für die Klasse 6b mit 15 Mädchen und 12 Jungen ergibt sich folgende Tabelle:

Klasse 6b Jungen Mädchen
Handy 10 12 22
kein Handy 2 3 5
12 15 27

Wie viele Jungen, wie viele Mädchen besitzen ein Handy?


In welcher Klasse ist der Anteil der Handybesitzer größer?

Um diese Frage zu beantworten, erstellt man die Vierfeldertafeln mit Angaben der relativen Häufigkeit.

Für die Klasse 6a schaut die Vierfeldertafel nun so aus:

Klasse 6a Jungen Mädchen
Handy 0,5 0,3 0,8
kein Handy 0,1 0,1 0,2
0,6 0,4 1


Erstelle für die Klasse 6b ebenfalls eine Vierfeldertafel mit Angaben der relativen Häufigkeit.

In welcher Klasse ist der Anteil der Handybesitzer größer?


Aufgabe: Erstelle für diese Aufgabe eine Vierfeldertafel.


Das empirische Gesetz der großen Zahlen

Öffne erneut diese Seite. Gib nun nacheinander für die Anzahl der Würfe n = 10, 100, 500, 1000, 10000 ein. Es ergeben sich zum Beispiel folgende Pdf20.gif Tabellen (Mit gedrückter Shift-Taste anklicken!)

Was stellst du fest? Notiere deine Ergebnisse!

Öffne nun erneut diese Seite. Betrachte nun im Diagramm die dargestellte relative Häufigkeit für

  1. den Münzwurf
  2. das Werfen der Sechs

Gib jeweils n = 10, 100, 1000, 10000 ein.

Was stellst du fest? Notiere deine Ergebnisse!



Das empirische Gesetz der großen Zahlen

Mit größer werdendem n stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert.


Die relative Häufigkeit beim Münzwurf für das Ereignis "Kopf" stabilisiert sich um h = 0,5.

Die relative Häufigkeit beim "Werfen eines Würfels" für das Ereignis "Sechs" stabilisiert sich um h = 1/6.


Hausaufgabe

  1. Wirf 100 mal eine Münze, notiere die absoluten Häufigkeiten für "Kopf" und "Zahl" und stelle für jeweils 10 Würfe die Anzahlen in einem Liniendiagramm dar.
  2. Wirf 100 mal einen Würfel, notiere die Anzahlen, wie oft jede Aufgenzahl jemals vorkam und mache ein Säulendiagramm.
  3. Wiederhole die 2. Aufgabe und erkläre, wieso du nicht dieselbe Tabelle erhältst.
  4. Bearbeite auf diesem Aufgabenblatt die Aufgaben 3, 5 und 6.
Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:
  • Karl Haberl