Trigonometrische Funktionen

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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu trigonometrischen Funktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit zwei der trigonometrischen Funktionen, und zwar der Sinus- und Kosinusfunktion, auseinandersetzen.

Kompetenzen

Du kennst bereits:

  • verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...),
  • lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen,
  • Sinus, Kosinus und Tangens im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken, d. h. für Winkel zwischen 0° und 90° sowie
  • Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse).

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

  • kannst du wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion erläutern.
  • weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
  • weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.
  Und nun ....


Viel Spaß beim Bearbeiten!!


Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Infos vor Beginn

1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.

Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

  • Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
  • An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
  • Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
  • Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?

3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung


2) Allgemeine Hinweise:

  • Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
  • Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
  • Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
  • Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.



Kurzer Test

Bevor es richtig losgeht, teste dein Wissen: Wiederholung

Na, hat alles geklappt? Dann löse die folgende Aufgabe:

  Aufgabe 1  Stift.gif

Erläutere in deinem Lerntagebuch kurz, warum diese bisherige "Definition" für rechtwinklige Dreiecke nur für spitze Winkel (d.h. Winkel zwischen 0° und 90°) gilt! Denke dabei an die Winkelsumme im Dreieck!


Definition der Sinus- und Kosinusfunktion

Das Winkelmaß

Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn \alpha als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.

Einheitskreis.jpg


Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger \vec{OP} vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel \alpha und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:

\sin (\alpha) =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{Gegenkathete}{1} = Gegenkathete

\cos (\alpha) =\frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{Ankathete}{1} = Ankathete

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(\cos (\alpha )  /\sin (\alpha )). Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für \cos (\alpha) bzw. \sin (\alpha) unter Umständen auch negativ.

  Aufgabe 2  Stift.gif

Skizziere in deinem Lerntagebuch die vier möglichen Fälle für die Lage von P (in jedem Quadranten des Koordinatensystems) und gib an, ob die Koordinaten jeweils positiv oder negativ sind.


Mithilfe der folgenden Übung kannst du deine Ergebnisse überprüfen: Löse zuerst die Aufgaben (Schaffst du die Übung fehlerfrei?) und überprüfe anschließend noch einmal deine Ergebnisse aus Aufgabe 2.
Winkelmaße am Einheitskreis

Das Bogenmaß

Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte Bogenmaß. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.

Einheitskreis Bogenmaß.jpg

Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß \alpha = 360° und das Bogenmaß x = 2\pi (der Umfang des Einheitskreises beträgt \pi). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß findest du unten im Definitionskasten.

Hinweis zur Berechnung der Werte mit dem Taschenrechner:

Will man mit dem Taschenrechner den Sinus eines Winkels im Bogenmaß bestimmen oder das Bogenmaß zu einem gegebenen Sinuswert angeben, muss der Taschenrechner umgestellt werden. Für das Gradmaß wird auf dem Taschenrechner die Abkürzung DEG (Degree) und für das Bogenmaß RAD (Radiant) genutzt. Je nachdem, welche Angabe du benötigst, kannst du deinen Taschenrechner unter 'Mode' entsprechend umstellen.


Um nun die sogenannte Sinuskurve, d. h. den Graphen zur Sinusfunktion zu erhalten, trägt man auf der x-Achse des Koordinatensystems den Winkel x im Bogenmaß und auf der y-Achse den Wert für \sin (x). Analog lässt sich der Graph für die Kosinusfunktion veranschaulichen. Wie diese Graphen genau aussehen und welche Eigenschaften sie haben, wirst du im nächsten Abschnitt untersuchen ....
Zuvor aber erst einmal:


Zusammenfassung

Definition


Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel \alpha im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}. Die Funktion f(x) = \sin (x) heißt Sinusfunktion, die Funktion f(x) = \cos (x) Kosinusfunktion.


Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion

Mithilfe des folgenden Applets kannst du die oben bereits erläuterte Entstehung der Sinus- bzw. Kosinusfunktion verfolgen. Du musst dazu einfach den Punkt P auf der Kreislinie bewegen.



  Aufgabe 3  Stift.gif

Untersuche die Sinus- und die Kosinusfunktion hinsichtlich ihrer folgenden Eigenschaften und notiere die Ergebnisse in der Pdf20.gif Tabelle:

  • Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Kreissegmenten (D. h. welche Intervalle auf der x-Achse repräsentieren welchen Bereich des Einheitskreises bzw. welchen Quadranten des zugehörigen Koordinatensystems?)
  • Definitions- und Wertemenge
  • Achsenschnittpunkte
  • Periodizität (Wie viele Einheiten umfasst eine Periode, d. h. ab welchem Wert wiederholt sich der Verlauf des Graphen?)
  • Symmetrie
  • Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion (\cos(x) = \sin( ... ) bzw. \sin(x) = cos( ... ))



Transformationen

Aus dem Alltag sind dir vielleicht verschiedende Arten von grafischen Darstellungen bekannt, die ähnlich aussehen wie die Sinuskurve, z. B. bei der Darstellung von Schwingungen, wie sie bei der Aufzeichnung von Wechselspannungen am Oszilloskop im Physiksaal oder bei der Darstellung von Ebbe und Flut auftauchen. Die Gesetzmäßigkeiten, die diesen Schwingungen zugrunde liegen, lassen sich tatsächlich oftmals mithilfe von Gleichungen beschreiben, in denen Sinusfunktionen vorkommen. Die sogenannte "Grundfunktion" f(x) =\sin (x) allein reicht dazu allerdings nicht aus; sie muss zur Modellierung dieser Funktionen auf verschiedene Arten transformiert werden. Mit diesen Transformationen sollst du dich nun näher beschäftigen:
Verschiedene Transformationsarten (d. h. das Strecken bzw. Stauchen, das Verschieben sowie das Spiegeln von Graphen) sind dir bereits von den quadratischen Funktionen bekannt - erinnere dich zurück:



  Aufgabe 4  Stift.gif

Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckte Datei unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.
1) Wie erreichst du eine Streckung bzw. Stauchung von f(x) = x2 in y-Achsenrichtung? Betrachte alle verschiedenen möglichen Fälle.
2) Wie kannst du diese Funktion nun in y-Achsenrichtung verschieben?
3) Wie musst du die Funktionsgleichung verändern, wenn du zusätzlich noch eine Verschiebung in x-Achsenrichtung vornehmen willst?
4) Letzte Frage: Nachdem du nun eine zusammenfassende Funktionsgleichung aufgestellt hast, wie kannst du diese an der x-Achse spiegeln?




Nun sollst du versuchen, diese Informationen auf die Sinusfunktionen zu übertragen:

  Aufgabe 5  Stift.gif

Stelle Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion f(x) = sin(x))

  • eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in Richtung der y-Achse,
  • eine Verschiebung in Richtung der x-Achse und
  • eine Verschiebung in Richtung der y-Achse sowie
  • eine Spiegelung an der x-Achse

hervorrufen kannst. Welche verschiedenen Fälle sind jeweils zu unterscheiden? Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch. Überprüfe anschließend mit Geogebra.


Fertig? Dann hier noch eine Begriffsdefinition, die du in dein Lerntagebuch übernehmen sollst:

Definition


Der Streck- bzw. Stauchfaktor a, der mit der Funktionsgleichung multipliziert wird, hat bei den trigonometrischen Funktionen einen besonderen Namen: Amplitude.
Bsp.: Die Funktion f(x) = 2·sin(x) hat die Amplitude 2.


  Aufgabe 6  Stift.gif

Untersuche die folgenden zwei Graphen. Durch welche Veränderungen am Funktionsgraphen von f erhälst du g? Überprüfe deine Vermutungen mithilfe des Applets. Um welche Art von Transformation handelt es sich?



Falls du alleine nicht weiter kommst, hier ein Hinweis:

Untersuche verschiedene Veränderungen an den x-Werten. Was passiert, wenn du beispielsweise sin(2x) erstellst?



Ausgehend von deinen bisherigen Kenntnissen (auch zu quadratischen Funktionen): Was vermutest du, wie du eine Spiegelung einer Funktion an der y-Achse erreichen kannst? Überprüfe deine Vermutung mit Geogebra.


  Aufgabe 7  Stift.gif

Übertrage deine bisherigen Erkenntnisse auf die Kosinusfunktion. Gib in deinem Lerntagebuch für jede der 6 Transformationsarten (Streckung / Stauchung in Richtung y-Achse, Streckung / Stauchung in x-Richtung, Verschiebung in x- und y-Richtung sowie die Spiegelung an der x- bzw. an der y-Achse) ein Beispiel an und skizziere den zugehörigen Graphen.


Zusammenfassung

  Aufgabe 8  Stift.gif

Alle Transformationsarten lassen sich (sowohl für die Sinus- als auch die Kosinusfunktion) in einer allgemeinen Funktionsgleichung zusammenfassen. Liste zuerst die möglichen Transformationsarten in der gegebenen Pdf20.gif Tabelle auf und versuche dann, diese beiden Funktionsgleichungen aufzustellen:

f(x) = sin(x) bzw. g(x) = cos(x) soll um

  • a Einheiten in y-Achsenrichtung und um
  • c Einheiten in x-Achsenrichtung gestreckt sowie um
  • d Einheiten auf der x-Achse und um
  • e Einheiten auf der y-Achse verschoben werden.

Formuliere zusätzlich einen Satz, indem du erläuterst, wie du eine solche Funktion an der x-Achse bzw. an der y-Achse spiegeln kannst.

Die allgemeine Sinusfunktion lautet f(x) = a·sin(c(x - d)) + e; entsprechend gilt für die Kosinusfunktion: g(x) = a·cos(c(x - d) + e. Eine Spiegelung von f(x) an der x-Achse wird erreicht durch Multiplikation der gesamten Funktionsgleichung mit dem Faktor (-1), d. h. f1(x) = -[a·sin(c(x - d)) + e] bzw. entsprechend für Kosinus g1(x) = -[a·cos(c(x - d)) + e].

Falls c < 0, ist der Funktionsgraph zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.


Nun noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken:

  Aufgabe 9  Stift.gif

Untersuche anhand der allgemeinen Sinusfunktion mithilfe des folgenden Applets den Einfluss von c auf d. Wie könnte man die Funktionsgleichung umformen, um direkt wieder die Verschiebung auf der x-Achse ablesen zu können (vorausgesetzt c \neq 1)? Erläutere anhand eines selbstgewählten Beispiels in deinem Lerntagebuch.


  Aufgabe 10  Stift.gif

Untersuche verschiedene transformierte Graphen. Haben die Transformationen Einfluss auf die Eigenschaften des jeweiligen Graphen, d. h. ändern sich gegenüber der Grundfunktion

  • die Definitions- und Wertemenge und
  • Periode
  • Symmetrie
  • Nullstellen?


  Aufgabe 11  Stift.gif

Wähle je zwei verschiedene Beispiele für eine Sinus- und eine Kosinusfunktion. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne mindestens je eine Sinus- und eine Kosinuskurve.



Übungen

Mithilfe der folgenden 3 Übungen kannst du dein Wissen überprüfen und anwenden.

Zusatzaufgabe

Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Sinus- und Kosinusfunktionen. Nutze dazu Geogebra.