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Werkzeuge

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Diese Seite stellt Werkzeuge zum Lösen mathematischer Probleme vor. Sie ist vor allem gedacht als Fundus für die Zusammenstellung individueller Werkzeugsammlungen. Angaben zum Einsatz in unterschiedlichen Klassenstufen gibt es bislang nicht, vieles ist vermutlich eher für die Oberstufe oder für die Arbeit in mathematischen Wettbewerben geeignet.

Weitere Hinweise finden sich auf der Seite Mathematische Probleme lösen: Grundideen.

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkungen

  • In den nachfolgenden Sammlungen treten etliche Werkzeuge mit Absicht mehrfach auf. Dadurch fällt es leichter, aus unterschiedlichen Situationen heraus beim Problemlösen auf ein Werkzeug zuzugreifen.
  • Etliche der Sammlungen sind bislang bloße Skizzen. Bei weiterer Entwicklung dieser Seite können Teile auf separate Seiten ausgelagert werden.
  • Nichts auf dieser Seite sollte als starres Rezept oder als die eine richtige Methode des Problemlösens missverstanden werden.

Ihr habt Kritik oder Verbesserungsvorschläge zu dieser Seite, aber keine Zeit zum Ausarbeiten von Details? Kein Problem!
Einfach kurzes Feedback auf der Diskussionsseite ergänzen - das braucht keine fünf Minuten, und alle haben etwas davon.
Ich kümmere mich nach Kräften um das Weitere. Thomas Teepe

Werkzeuge zum Anfertigen schriftlicher Aufzeichnungen

Geschickte schriftliche Aufzeichnungen können eine große Hilfe beim Bearbeiten mathematischer Probleme sein. [1] Es folgt eine Sammlung nützlicher Methoden.

  • Schreibmaterial: Druckbleistift, Radiergummi, lose Blätter samt Aufbewahrungsmappe.
    • Stifte mit leicht verwischender Farbe sind weniger gut geeignet.
    • Ggf. ist der Einsatz von farbigen Stiften oder Textmarkern nützlich.
    • Das Material sollte einen direkten Blick auf die Werkzeugsammlung möglich machen.
  • Einsatz von Diagrammen und Zeichnungen
  • Einführung geeigneter mathematischer Notationen, Beispiel: Großbuchstaben für übergeordnete Objekte und Kleinbuchstaben für untergeordnete: a\in A, b\in B.
  • Einsatz von Abkürzungen für oft benutzte Werkzeuge und Elemente des Problemlösens, etwa "R" für Repräsentation, "P" für Plan, "A" für Ansatz oder "H" für Hindernis / "S" für Schwierigkeiten.
  • Einsatz geeigneter Layouts - dies ist ein besonders nützlicher Punkt
    • 2-Spalten-Layout
      Hierbei wird das Notizenblatt durch eine senkrechte Linie in 2 Spalten unterteilt. Die linke Spalte bietet Platz für die eigentlichen Hauptüberlegungen zum Problem, etwa Skizzen, Fragen und Nebenrechnung; die rechte Spalte kann für reflexives Denken genutzt werden (wo hakt es gerade? Was könnte ich jetzt tun?), aber auch für spontane Einfälle, die später ausgewertet werden können.
    • Kombinationen von Mind Maps und traditionellen mathematischen Notizen
      Ein sinnvolles Vorgehen kann hier darin bestehen, dass die Seite unterteilt wird: Das obere Drittel ist für eine Mindmap zum Problem bestimmt, die beiden unteren Drittel für herkömmliche mathematische Notizen mit Diagrammen und Nebenrechnungen.
    • Unterteilung in Rechtecke
      Dabei wird ein DIN A4-Blatt in 3x2 Rechtecke unterteilt, die von 1 bis 6 nummeriert werden. In jedem dieser Rechtecke kann dann ein Teil der Bearbeitung eines Problems gemacht werden.
      Mehr zu diesem Ansatz und zu den Vorteilen guter schriftlicher Aufzeichnungen findet sich in dem Aufsatz Stop Making Stupid Mistakes von Richard Rusczyk.

Sammlungen mathematischer Werkzeuge

Vorgehen nach G. Polya

Alternatives Vorgehen

  • Entwickle unterschiedliche Repräsentationen des Problems.
    • Sammle unterschiedliche Möglichkeiten, das Problem darzustellen.
    • Schreibe die Möglichkeiten sinnvoll gegliedert auf. [2]
  • Entwickle unterschiedliche Lösungsansätze. (Eine umfangreichere Darstellung findet sich unter Mathematische Probleme lösen/Umgang mit Lösungsansätzen.)
    • Entwickle Lösungsansätze "von oben nach unten":
      Was soll gezeigt werden? Welche Möglichkeiten gibt es dazu? Entwickle die einzelnen Möglichkeiten weiter.
    • Schreibe auch hier die Möglichkeiten gegliedert auf.
    • Entwickle Lösungsansätze aus ähnlichen Aufgaben
    • Wähle Lösungsansätze aus einer Liste aus, siehe etwa die Sammlung allgemeiner Prinzipien weiter unten.
  • Werte die Lösungsansätze aus.
    • Fang mit dem aussichtsreichsten Lösungsansatz an.
    • Wenn die Arbeit ins Stocken gerät: Benutze die Werkzeuge zur Reflexion weiter unten.
    • Hartnäckigkeit ist gut, aber hüte Dich vor blindem Festbeißen. Wenn es nicht weiter geht, probiere einen anderen Ansatz. Vielleicht bringt die Kombination beider Versuche einen Fortschritt.

Sammlung typischer Schwierigkeiten beim Problemlösen

Sammlung von Problemtypen

Beispiele:[3]

  • Werkzeuge zum Beweisen von Ungleichungen
  • Werkzeuge für Existenzbeweise
  • Werkzeuge für Nichtexistenz-Beweise
  • ...

Sammlung von Beweistypen

  • direkter Beweis
  • Beweis durch mathematische Induktion
  • Beweis durch Umkehrung
  • Beweis durch Widerspruch
  • Beweis durch Konstruktion eines Beispiels oder Gegenbeispiels
  • Beweis durch Fallunterscheidung [4]

Sammlung mathematischer Repräsentationen

Mit einer ungeeigneten Repräsentation ist die Suche nach einer Lösung oft ungleich mühsamer, deshalb ist es nützlich, verschiedene Repräsentationen zu betrachten.

  • geometrisch
  • Koordinatensysteme
    • kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten...
  • algebraisch - als Formel
  • verschiedene Zahldarstellungen
    • als Dezimalbruch, als Binärzahl, in Primfaktoren zerlegt...
  • grafisch
  • algorithmisch - als Schritt-für-Schritt-Vorgehen
  • in Tabellenform

Gliederung nach Sachgebieten

Beispiele:

  • Werkzeuge zur Geometrie
    • Siehe hierzu etwa den "Inversen Wissensspeicher" zur Geometrie auf der Seite des Mathe-Clubs Gotha.
    • Das Konzept des inversen Wissensspeichers ist allgemein gut geeignet, um mathematische Aussagen so zusammenzustellen, dass sie für Zwecke des Problemlösens leicht aufgefunden werden können.
  • Werkzeuge zur Differentialrechnung
  • Werkzeuge zur Trigonometrie

Bei weiterer Entwicklung dieser Werkzeugsammlung können hieraus eigene Seiten des ZUM-Wiki werden.

Sammlung wichtiger allgemeiner mathematischer Prinzipien

  • Induktionsprinzip
  • Spezialfälle
  • Invarianten
  • Extremfälle
  • Symmetrien
  • Rekursion
  • Generalisieren und Verallgemeinern
  • Fallunterscheidungen
  • Lösungen raten und überprüfen
  • Elemente umsortieren [5]
  • Schubfachprinzip [6]
  • Paritäten - gerade und ungerade Zahlen betrachten
  • Prinzip vom Ein- und Ausschließen
  • Schrittweise Approximationen
  • Einfärbungen [7]

Eine interessante Übersicht bietet das Buch "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens" von Christian Hesse. Diesem Buch sind die obigen Beispiele entnommen.

Allgemeine mathematische Tricks

  • Hilfsgrößen einführen
  • Substituieren
  • eine geeignete 0 addieren oder mit einer geeigneten 1 multiplizieren
  • Teleskopsummen
  • Faktorisieren ist oft nützlicher als ausmultiplizieren!

Vorgehen zum Erzeugen von Lösungsansätzen

Grundidee sind die folgenden Schritte:

  1. Wähle ein Objekt aus, das für die Problemlösung eine Rolle spielt.
  2. Modifiziere das Objekt.
  3. Untersuche die Auswirkungen dieser Modifikation.

Es folgen die Details.

  • Mögliche Objekte
    • Teile des Problems: Funktionen, Mengen, gesuchte Größe oder Aussage, Voraussetzungen, gegebene Informationen...
    • Repräsentationen
    • Lösungsplan
  • Mögliche Modifikationen
    • ersetzen
    • hinzufügen / weglassen, beseitigen
    • modifizieren, verändern, anpassen
    • kombinieren
    • in Teile zerlegen
    • anders anordnen
    • anders benutzen
    • annähern
    • maximieren / minimieren
  • Was man beobachten sollte
    • Symmetrien
    • Muster
    • Extreme
    • Grenzwerte
    • Daten
    • Invarianten
    • Details - mehr davon oder weniger
    • Parität

Sammlung häufiger Fehler [8]

  • schlechte Handschrift
  • Aufgabenstellung nicht genau lesen
  • Klammerung übersehen
  • Vorzeichenfehler
  • Glaube, alles sei additiv oder kommutativ (aber im Allgemeinen ist \sqrt{a+b}\neq  \sqrt{a} +\sqrt{b} und \log (\sqrt{x} ) \neq \sqrt{\log (x) }).
  • fehlerhaftes Kürzen von Brüchen
  • Dimensionsfehler
  • Divisionen durch 0
  • ...

Werkzeuge zum Beschaffen von Informationen

  • mit anderen reden, ggf. mailen...
  • das Internet als Informationsquelle benutzen
    • Nachschlagewerke
    • Foren
  • Bücher als Informationsquelle nutzen

Einsatz von Computern

  • für mathematische Spiele
  • als Rechenwerkzeug
  • als Simulationswerkzeug
  • als Recherchewerkzeug
  • als Kommunikationswerkzeug (Mail, Foren)

Werkzeuge für die Reflexion

Reflektierendes Denken ist vermutlich eine der nützlichsten Hilfen beim Bearbeiten mathematischer Probleme.

Mehr Informationen gibt es auf der Seite Mathematische Probleme lösen/Reflexion.

Weitere Ordnungsprinzipien

Es folgen weitere Gliederungen, die insbesondere in der didaktischen Fachliteratur oft verwendet werden.

Heurismen: Hilfsmittel, Strategien, Prinzipien

  • heuristische Hilfsmittel: Diagramm, Tabelle, Gleichung,...
  • heuristische Strategien: Vorwärts arbeiten, rückwärts arbeiten, Kombinationen daraus,...
  • heuristische Prinzipien: Zerlegen / Ergänzen, Invarianzprinzip, Extremalprinzip, Symmetrieprinzip,...[9]

Gruppen von Heurismen

Einige der vorgenannten Werkzeuge kann man auf folgende Weise zu Gruppen zusammenfassen:

  • Induktion
    • Probiere systematisch
    • Arbeite vorwärts
    • Versuche zu verallgemeinern
  • Variation
    • Variiere das Gegebene
    • Variiere den Allgemeinheitsgrad
    • Variiere die Exaktheitsstufe
  • Interpretation
    • Übersetze in einen anderen Kontext
    • Verfertige ein Modell
    • Suche ein Analogon
  • Reduktion
    • Unterscheide Fälle
    • Arbeite rückwärts
    • Argumentiere durch Widerspruch[10]


Fußnoten

  1. Einen inspirierenden Überblick über solche Methoden im Literaturunterricht findet sich auf der Webseite The English Companion.
  2. Hinweis: Siehe auch die separate Liste von Repräsentationen.
  3. Ein entsprechender Ansatz wird etwa auf der Seite Tricki verfolgt. Diese Seite ist in manchen Teilen weit über Schulniveau, bietet aber eine Fülle guter Ideen zum Thema Problemlösen. Die genannten Beispiele stammen von dieser Seite.
  4. Diese Liste geht zurück auf den Wikipedia-Artikel zu mathematischen Beweisen.
  5. Beispiel: Gauß' Trick zur Berechnung von 1+2+3+...+100.
  6. Grundidee: Wenn n+1 Gegenstände auf n Fächer verteilt werden, dann liegen in mindestens einem Fach zwei oder mehr Gegenstände. Damit lässt sich zum Beispiel leicht zeigen, dass in Freiburg zwei Menschen leben, die exakt die gleiche Anzahl Haare auf dem Kopf haben.
  7. Beispiel: Wenn aus einem Schachbrett zwei gegenüberliegende Ecken entfernt werden, so lässt sich die verbleibende Fläche nicht mit 2x1-Dominosteinen (von der Größe zweier benachbarter Schachfelder) komplett überdecken.
  8. Hauptinspiration für die folgende Zusammenstellung ist die Seite Common Errors in Undergraduate Mathematics.
  9. Zu weit ausführlicheren Informationen siehe etwa diese Präsentation von Regina Bruder.
  10. Diese Liste ist eine gekürzte Übernahme von der Webseite von Alfred Schreiber.

Literaturhinweise

Linkliste