Modell des Möhnesees

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Wie kann man den Stauraum des Möhnesees mathematisch beschreiben?

Ort: Möhnesee (Kreis Soest, Gemeinde Möhnesee)

Gliederung:

  • grobe Schätzung der Werte
  • Umformung des Sees in einzelne Modelle
  • Berechnung des Volumen der Modelle
  • Vergleich des Ergebnis der Rechnung mit groben Werten mit genauem Wert
  • Zusatzfragestellung (basierend auf Modelldarstellung)


Grobe Schätzung der Werte

Man könnte sich den See als halben Zylinder vorstellen.

Als Breite ließe sich die doppelte Länge der Delecker Brücke nehmen. Damit wäre der See ca. 3 km breit.

Was die Länge des betrifft, kann man davon ausgehen das der See ca. 20km lang sein müsste, da eine Radstrecke (Möhnesee-Ufer-Tour) existiert, welche ca. 22km lang ist.


Auf diese Weise käme man zu folgender Rechnung:


Grundfläche: Formel für Kreis: r²π

r=1500m → 1500²π = 7068583,471m²

mit Höhe [in diesem Fall Länge (20000m)] multiplizieren:

7068583,471m²·20000 = 14.137.166.940m³

Nun muss dieses Ergebnis noch halbiert werden, da es sich nicht um einen vollständig gefüllten Zylinder handelt.

Also ergibt die grobe Schätzung des Stauraums in Form einer mathematischen Figur (Halbzylinder) folgenden Wert:

7.068.583.470m³


(Der tatsächliche Stauraum beträgt allerdings lediglich 140.800.000m³, was auf eine äußerst grobe Schätzung hinweist.)


Umformung des Sees in einzelne Modelle

Maryy95 Unbenannt.jpg

Auf folgende Art sind die mathematischen Figuren platziert (ist jetzt nicht so ordentlich, aber man kann es sich denken, wie es gemeint ist ...) :

Maryy95 Verschobener torusteil und so linien.jpg


Berechnung des Volumen der Modelle

Die einzelnen Werten lassen größtenteils sich vom Maßstab ablesen.


Naturschutzgebiet; Art des Modells: Teil eines Kegels

Länge(L): 4000m

Breite(s) (an Grundseite des Kegels): 750m

Wassertiefe(h) (geschätzt): 30m


Grundfläche(g) (Kreissegment): Formel: A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},


- in diese Formel s und h einsetzen.

Ergebnis: 5006,43m²

Volumen (Teilkegel): Formel: 1/3·g·L

- in diese Formel g und L einsetzen

Ergebnis: 20.025.720m³


Sperrmauerbecken; Art des Modells: Teil eines Zylinders

Länge(L): 1860m

Breite(s): 840m

Wassertiefe(h) (geschätzt): 30m


Grundfläche(g) (Kreissegment): Formel: A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},


- in diese Formel s und h einsetzen.

Ergebnis: 16826,4774m²

Volumen (Teilzylinder): Formel: g·L

- in diese Formel g und L einsetzen

Ergebnis: 84.132.387,01m³


Sperrmauerbecken2; Art des Modells: Teil eines Zylinders


Länge(L): 1210m

Breite(s): 650m

Wassertiefe(h) (geschätzt): 30m


Grundfläche(g) (Kreissegment): Formel: A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},


- in diese Formel s und h einsetzen.

Ergebnis: 3577,12m²

Volumen (Teilzylinder): Formel: g·L

- in diese Formel g und L einsetzen

Ergebnis: 4.328.315,2m³



Delecker & Körbecker Becken; Art des Modells: Teil eines Zylinders


Länge(L): 5000m

Breite(s): 830m

Wassertiefe(h) (geschätzt): 30m


Grundfläche(g) (Kreissegment): Formel: A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},


- in diese Formel s und h einsetzen.

Ergebnis: 16623,515m²

Volumen (Teilzylinder): Formel: g·L

- in diese Formel g und L einsetzen

Ergebnis: 83.117.573,78



Wameler Becken; Art des Modells: Teil eines Kegels


Länge(L): 2500m

Breite(s) (am Körbecker Becken angrenzend): 820m

Wassertiefe(h) (geschätzt): 25m


Grundfläche(g) (Kreissegment): Formel: A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},


- in diese Formel s und h einsetzen.

Ergebnis: 13672,1m²

Volumen (Teilkegel): Formel: 1/3·g·L

- in diese Formel g und L einsetzen

Ergebnis: 11.393.400,375m³



Volumen der Modelle als Summe

20.025.720m³ + 84.132.387,01m³ + 4.328.315,2m³ + 83.117.573,78m³ + 11.393.400,375m³ = 122.685.944,135m³

Vergleich des Ergebnisses der Rechnung mit groben Werten mit genauem Wert

Das Ergebnis der Rechnung (122.685.944,135m³) liegt verhältnismäßig nah an dem offiziellen Wert des Gesamtstauraums des Möhnesess (140.800.000 m³) und des Speicherraums (134.500.000m³).

Das bedeutet, dass sich der Stauraum des Möhnesees auf diese Art mathematisch relativ gut darstellen lässt.




Zusatzfragestellung (basierend auf Modelldarstellung)

Man füllt das Modell des Möhnesees statt mit Wasser mit Weizenbier. Nun lässt man Schwimmer durch diesen Biersee schwimmen, die durchschnittlich (versehentlich natürlich..) pro Minute 100ml verschlucken. Wie viele Schwimmer bräuchte man mindestens, damit der See mit möglichst wenigen Schwimmern leer wird? Wie viel Zeit würde es beanspruchen?


Bedingungen

  • Die Schwimmer müssen durchschnittlich die gleichen Funktionen haben.
  • Die Schwimmer sind alle männlich.
  • Die Schwimmer wiegen durchschnittlich 80kg.
  • Sobald ein Schwimmer 1,5‰ hat, darf er nicht mehr weiterschwimmen.
  • Das Weizenbier hat eine Volumenkonzentration von 5%. Dieses variiert nicht, der Möhnesee wurde also so umgebaut, dass z.B.: kein Grund- oder Regenwasser hinein könnte.
  • Es müssen sich immer 1000 Schwimmer gleichzeitig im See aufhalten.
  • Wenn die Schwimmer nicht mehr wirklich schwimmen, weil sie bereits mit dem Körper auf dem Trockenen sind, ist das nicht ausschlaggebend, da die Schwimmer dann trotzdem auf Grund dieser Bedingung noch "versehentlich" Bier verschlucken.
  • Es entstehen keine freien Zeiträume, zwischen den einen 1000 Schwimmern und den nächsten. Das ganze ist so gut gemanaget, dass hierfür keine zusätzliche Zeit einkalkuliert werden muss.

Rechnung

Ein Mann (den Bedingungen entsprechend) hat 1,5‰ wenn er ca. 1,7l Bier getrunken hat.


Formel zur Berechnung: w(Alkohol im Blut in ‰) = m(Alkohol in g)/(r*m(Körpergewicht in kg)

r=0,7 bei Männern

→ 1,5‰ = m(Alkohol in g)/(0,7*80) → m = 84g


100ml Bier enthalten 5g Alkohol (Volumenkonzentration: 5%)


5g*16,8 = 84g ~ 100ml*16,8 = 1680ml



Man bräuchte ca. 72.168.202.433.000 Schwimmer.

Berechnung:

122.685.944.135.000 l (Volumen des Möhnesees [siehe Modelle]) / 1,7 l = 72.168.202.432.353



Man müsste also 72.168.202.433 Durchläufe machen, wenn immer 1000 gleichzeitig schwimmen.


Ein Durchlauf benötigt 17min.

Berechnung:

1700ml/100ml = 17


Für alle Durchläufe würde man 1.226.859.441.361min brauchen.

Berechnung:

72.168.202.433*17 = 1.226.859.441.361


Das bedeutet:

1.226.859.441.361min = 20447657356.01667h = 851985723.1673611 Tage = 121712246.16677 Wochen = 2334207.46073 Jahre = meiner Meinung nach viel zu lange.



Also handelt es sich bei diesem Projekt um eine äußerst zeitaufwändige Sache, falls meine Berechnungen stimmen.


Verfasserin

Marie Sanders :)