Matrizen

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Inhaltsverzeichnis

Matrix

Definition

Als eine (m \times n-)Matrix A versteht man eine rechteckige Anordnung von m mal n mathematischen Elementen A_{ij} ,  i=1 \ldots m , j=1 \ldots n (meistens reeller Zahlen).

A = 
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} 
\end{pmatrix}

Hierbei steht m für die Anzahl der Zeilen und n für die Anzahl der Spalten.

Merkspruch: Zuerst Zeilen, Spalten später.

Matrizenaddition

Zwei Matrizen A und B können addiert werden, wenn sie in ihren Dimensionen (Anzahl der Zeilen und Spalten) übereinstimmen. Matrizenaddition erfolgt durch die Addition der jeweiligen Einträge a_{ij},b_{ij}: 
A+B=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21}  & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
a_{m1}  & \ldots & a_{mn} 
\end{pmatrix}
+ 
\begin{pmatrix} b_{11}  & \ldots & b_{1n} \\
b_{21}  & \ldots & b_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
b_{m1}  & \ldots & b_{mn} 
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \ldots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} +b_{21}  & \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
a_{m1} + b_{m1} & \ldots & a_{mn} +b_{mn}
\end{pmatrix} 
.

Multiplikation mit einem Skalar

Eine Matrix A kann mit einem Skalar \lambda (Element vom selben Typ, wie die Matrix-Einträge, meistens eine reelle Zahl \lambda \in \R) multipliziert werden. Bei Multiplikation mit einem Skalar werden alle Einträge a_{ij} mit dem Skalar \lambda multipliziert: 
 \lambda \cdot A = \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21}  & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
a_{m1}  & \ldots & a_{mn} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \ldots & \lambda \cdot a_{1n} \\
\lambda \cdot a_{21}  & \ldots & \lambda \cdot a_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
\lambda \cdot a_{m1}  & \ldots & \lambda \cdot a_{mn} 
\end{pmatrix}

Multiplikation mit einem Skalar ist kommutativ: \lambda \cdot A = A \cdot \lambda.

Matrizenmultiplikation

Multiplikation zweier Matrizen A und B, wobei A eine m \times n- und B eine n \times l-Matrix sein müssen, wird auf folgende Weise definiert: 
A \cdot B
=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} 
\end{pmatrix}
\cdot 
 \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1l} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2l} \\
\vdots & \ddots  \\
b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nl} 
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 
\sum_{i=1}^n a_{1i} \cdot b_{i1} 
& \sum_{i=1}^n a_{1i} \cdot b_{i2} 
& \ldots & \sum_{i=1}^n a_{1i} \cdot b_{il} \\
\sum_{i=1}^n a_{2i} \cdot b_{i1} 
& \sum_{i=1}^n a_{2i} \cdot b_{i2} 
& \ldots & \sum_{i=1}^n a_{2i} \cdot b_{il} \\
\vdots & \ddots  \\
\sum_{i=1}^n a_{mi} \cdot b_{i1} 
& \sum_{i=1}^n a_{mi} \cdot b_{i2} 
& \ldots & \sum_{i=1}^n a_{mi} \cdot b_{il} 
\end{pmatrix} \text{.}

Das Ergebnis A \cdot B ist eine m \times l-Matrix. Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: A \cdot B \not= B \cdot A.

Beispiel

 \begin{pmatrix}
2 & 2 & 3 \\
1 & 7 & 5 \\ 
\end{pmatrix}
\cdot 
 \begin{pmatrix}
 3 & 2 \\
  1 & 1 \\
 4 & 3  \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4  &  2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \\
  1 \cdot 3 + 7 \cdot 1 + 5 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 20 & 15 \\
30 & 24
\end{pmatrix}

Matrix-Vektor-Multiplikation

Ein wichtiger Spezialfall der Matrizenmultiplikation ist die Matrix-Vektor-Multiplikation. Dabei ist die linke Matrix A eine quadratische n \times n-Matrix und \vec{v} ein Spaltenvektor der Länge n. \vec{v} wird hier als eine n \times 1-Matrix gesehen.

Beispiel


A=\begin{pmatrix}
 2 & -1 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}, 
\vec{v}=
\begin{pmatrix}
 x \\
 y
\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
A \cdot \vec{v}= 
\begin{pmatrix}
 2x - y \\
 -2x +3y
\end{pmatrix}

Stift.gif   Aufgabe

Überzeuge dich, dass das Kommutativgesetz bei Matrizenmultiplikation nicht gilt, indem du mit Hilfe von Ti-Nspire für die Matrizen: 
 A=
\begin{pmatrix}
 1 & 5 \\
7 & 3
\end{pmatrix},
\quad
B=\begin{pmatrix}
 -3 & 6 \\
2 & 5
\end{pmatrix}

A \cdot B und B \cdot A berechnest.

Gilt für die Multiplikation von 2 \times 2-Matrizen das Assoziativgesetz?

 (A \cdot B ) \cdot C \overset{\text{?}}= A \cdot (B  \cdot C)

Abbildungsmatrizen

Mit Hilfe von Matrix-Vektor-Multiplikation lassen sich Abbildungen in der Ebene bzw. im Raum auf eine sehr elegante Art und Weise darstellen. Ein Punkt \vec{p} wird mit Hilfe einer Abbildungsmatrix A auf einen anderen Punkt \vec{q} bzw. auf sich selbst \vec{p}=\vec{q} abgebildet.  A \vec{p} = \vec{q}

Beispiel

Punkte a,b,c werden mittels S auf sa,sb,sc abgebildet. S=\begin{pmatrix}0 & -2 \\-2 & 0 \end{pmatrix},
a=\begin{pmatrix}
1  \\
-1  
\end{pmatrix}
,
b=\begin{pmatrix}
-1  \\
-3  
\end{pmatrix}
,
c=\begin{pmatrix}
-3  \\
-1  
\end{pmatrix}
,
sa=S \cdot a,
sb=S \cdot b,
sc=S \cdot c

Ltargas-abb daten.jpg  Ltargas-abb bild.jpg 

Stift.gif   Aufgabe
  • Lade die Datei Datei:Abbildungsmatrizen.tns herunter.
  • Schau dir an, wie sich die Abbildungsmatrix auf das Bilddreieck auswirkt.
  • Finde eine Matrix, die eine Drehung um 30^{\circ} beschreibt.
  • Überprüfe deine Lösung graphisch, benutze dazu die obige Datei.

Notwendige Voraussetzungen

Folgende Begriffe und die damit verbundenen Inhalte sollten den Schülerinnen und Schülern bekannt sein:

  • Matrix,
  • Vektor,
  • geometrische Abbildungen (Drehung, Achsen- bzw. Punktspiegelung, zentrische Streckung etc.),
  • trigonometrische Funktionen.

Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler über die Grundkenntnisse der Bedienung des TI-Nspire-Taschenrechners verfügen.

Didaktischer Kommentar

Die bereits in der Sekundarstufe I erlernten Begriffe werden wiederholt und mittels der Matrizenrechnung weiter vertieft. Durch den Einsatz der Software werden die Rechenfehler miniert, die bei einer mühsamen Matrizenrechnung (vor allem bei der Matrix-Multiplikation) entstehen könnten. So dass der neue Formalismus (Matrizenrechnung) meiner Meinung nach von den Schülerinnen und Schülern als vorteilhaft angesehen wird. Der explorative Zugang wirkt motivierend. Die graphische Darstellung einer Abbildung hilft den Schülerinnen und Schülern sich die Wirkung einer Abbildungsmatrix besser vorzustellen. Dadurch wird der Unterrichtstoff besser verstanden.

Übergangsmatrizen und stochastische Matrizen

Bei der Modellierung von Systemen, die in regelmäßigen Abständen beobachtet werden und sich hierbei in wechselnden Zuständen befinden, kann man häufig zu guten Ergebnissen gelangen, indem man von festen Gesetzmäßigkeiten bezüglich der Zustandswechsel ausgeht. Diese lassen sich sehr anschaulich in Matrix-Form darstellen.

stochastische Matrix

Eine stochastische Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Einträge zwischen 0 und 1 liegen und deren Spalten- bzw. Zeilensumme 1 beträgt. Wir betrachten den Fall, dass die Spaltensumme 1 beträgt.

Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten entspricht der Anzahl der zu betrachtenden Zustände. An der Stelle (i,j) steht die Wahrscheinlichkeit, während eines betrachteten Zeitabstands von Zustand j nach Zustand i überzugehen. Multipliziert man den Ausgangszustand in Form eines Zeilenvektors von rechts an die stochastische Matrix, so erhält man einen Zeilenvektor mit dem Zustand nach einer Zeiteinheit.


Stift.gif   Aufgabe

Lade die Datei Datei:Stochastische Matrizen Fahrrad.tns herunter und bearbeite sie.

Leslie-Matrizen

Eine gute Möglichkeit, um Populationssysteme zu modellieren, bieten Leslie-Matrizen. Diese sind ebenfalls quadratisch und haben so viele Zeilen und Spalten, wie Zustände betrachtet werden, allerdings sind hier die Zeilen- bzw. Spaltensummen nicht gleich 1 und es können auch Einträge größer als 1 vorkommen. Sie haben im Allgemeinen die Form 
 \begin{bmatrix}
  g_1+s_1 & g_2 & g_3 & g_4 \\
  a_1 &  s_2  &  0  &  0  \\
   0  & a_2 &  s_3  &  0  \\
   0  &  0  & a_3 &  s_4  \\
 \end{bmatrix}
, wobei pro betrachteter Zeiteinheit g_i die Geburtenrate pro Individuum in Kategorie i, s_i den Anteil an Individuen, die in der Kategorie i bleiben und a_i den Anteil der Individuen, die in die nächsthöhere Kategorie "altern", angibt.

Auch hier wird von rechts ein Spaltenvektor mit dem Ausgangszustand multipliziert, um den Zustand nach einer Zeiteinheit zu erhalten.

Stift.gif   Aufgabe

Bearbeitet das ausgeteilte Arbeitsblatt (Kopiervorlage aus Schmidt 2012). Nutzt für die grafische Darstellung eine Tabellenkalkulation.

Notwendige Voraussetzungen

Folgende Begriffe und die damit verbundenen Inhalte sollten den Schülerinnen und Schülern bekannt sein:

  • Matrix,
  • Vektor,
  • Eigenvektor und Eigenwert
  • trigonometrische Funktionen.

Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler über die Grundkenntnisse der Bedienung des TI-Nspire-Taschenrechners und einer Tabellenkalkulation verfügen.

Quellenangabe

Literatur:

  • Schmidt, Ursula (2012) Wie kann man Meeresschildkröten retten? Preprint. Erscheint im Cornelsen Verlag: Daten und Zufall im Mathematikunterricht - mit neuen Medien verständlich erklärt. Pallack, Andreas und Schmidt, Ursula (Hrsg.)
  • Pallack, Andreas (2007) Auf in die Pause. In: Aufgaben für TI-Nspire CAS. Pallack, Andreas und Barzel, Bärbel (Hrsg.): Einheit 12