Beweise zur Multiplikation natürlicher Zahlen

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Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

Die Multiplikation auf natürlichen Zahlen sei folgendermaßen rekursiv definiert:

  • (Mult1) x\cdot 0=0
  • (Mult2) x\cdot\sigma(y)=x\cdot y + x

Wir vereinbaren zudem, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition (Punkt vor Strich).

Vollziehe erst einmal die Definition der Multiplikation nach, indem du zwei beliebige natürliche Zahlen (in \sigma-Schreibweise!) miteinander multiplizierst.

Beweise anschließend die folgenden Aussagen! Überlege dir dabei zunächst, ob du die Aussage direkt beweisen kannst, oder ob du besser mit vollständiger Induktion arbeitest.

  1. (EinsMultR) \forall n:\mathbb{N}_{0}.\ n\cdot 1=n
  2. (EinsMultL) \forall n:\mathbb{N}_{0}.\ 1\cdot n=n
  3. (NullMultL) \forall n:\mathbb{N}_{0}.\ 0\cdot n=0
  4. (Dis) \forall x,y,z:\mathbb{N}_{0}.\ x\cdot (y+z)=x\cdot y + x\cdot z (Distributivität)
  5. (AssMult) \forall x,y,z:\mathbb{N}_{0}.\ (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) (Assoziativität der Multiplikation)
  6. (KomMult) \forall m,n:\mathbb{N}_{0}.\ m\cdot n=n\cdot m (Kommutativität der Multiplikation)


Bei dieser Aufgabe ist wichtig: Begründe jeden einzelnen Umformungsschritt! Du darfst nur bereits eingeführte Axiome und bereits bewiesene Sätze verwenden! Mache dich frei von deinem Vorwissen! :-)



Farm-Fresh hand point.png  Tipps

Du benötigst einen Tipp? Den bekommst du hier: Tipps (Schau dir die Tipps aber nur an, wenn du es wirklich selbst versucht hast und nicht weiterkommst!)