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Die Folge der natürlichen Zahlen

Wir bezeichnen den Nachfolger einer natürlichen Zahl n als ____________ .

So lässt sich die Zahl 4 beispielweise schreiben als: _______________________.

Die Peano-Axiome lauten:

  • (Peano1)


  • (Peano2)


  • (Peano3)


  • (Peano4)


  • (Peano5)


Addition natürlicher Zahlen

Wir definieren die Addition auf den natürlichen Zahlen rekursiv:

  • (Add1)


  • (Add2)


Ein beispielhafter rekursiver Abstieg:

m+\sigma(\sigma(\sigma(0)))=



Um zukünftig Schreibarbeit zu sparen und die Leserlichkeit zu erhöhen, definieren wir zudem:

  • (Eins)


Nun können wir neues Wissen über die Addition generieren, indem wir Aussagen beweisen und dadurch Sätze aufstellen. Beispiel: Wir zeigen, dass die folgende Aussage gilt:

  • (EinsAddR) \forall n:\mathbb{N}_{0}.\ n+1=\sigma(n)

Beweis:











Das geht nicht immer so einfach, wie folgendes Beispiel zeigt.

Vollständige Induktion

Wir beweisen: (NullAddL) \forall n:\mathbb{N}_{0}.\ 0+n=n.

Induktionsanfang: (n=0)




Induktionsschritt:

Wir schließen nun von n=k auf n=\sigma(k):

Induktionsannahme (n=k):


Zu zeigen:








Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!