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Division mit Rest

Vervollständige, was man unter "Division mit Rest" versteht .

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  b \ \in \ \mathbb{N}.
Dann \exist ! q,r \in \mathbb {Z} mit




Trage hier noch weitere Beispiele ein.


27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r \qquad
q  = \ 27 \ div \ 8 \ = 3 \qquad
r  = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3


-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r \qquad
q = \ -14 \ div \ 9 \ = .... \qquad
r = \ -14 \ mod \ 9 = ....

Definition: Kongruenz

Es sei  m \ \in \ \mathbb{N} und  a,b \ \in \ \mathbb{Z}.
a ist genau dann kongruent zu b modulo m, wenn a mod m = b mod m
Man schreibt:
 a \equiv b\ mod\ m


Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.







Satz zur Kongruenz

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: m |(a-b)
a \equiv b\ mod\ m (Voraussetzung)
\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m (Def. Kongruenz)

\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z} mit











"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: m |(a-b)
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m
m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}: a = m \cdot q_1 + r_1 und b = m \cdot q_2 + r_2
\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)
















Kongruenz als Äquivalenzrelation

Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.

zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: \forall a \in \mathbb {Z}:  a \equiv a\ mod\ m
(2) symmetrisch: \forall a,b \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m
(3) transitiv: \forall a,b,c \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m 
\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m

Trage hier die zugehörigen Beweise ein.




























Rechnen mit Kongruenzen

Satz: Seien a,b,c,d \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb{N} mit a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m dann gilt...


(1) a+c \equiv b+d\ mod\ m

Beweis:
m|(a-b) \wedge m|(c-d)
\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)
\Rightarrow m|a+c-b-d
\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)


Führe die Beweise zu (2) und (3)

(2) a-c \equiv b-d\ mod\ m

Beweis:





(3) a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m

Beweis:






Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!