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Definition Restklassen

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  m \ \in \ \mathbb{N}.
Jede Menge \overline{a} :=  \{x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m\} bezeichnet man als Restklasse modulo m.
Jedes x \in \overline {a} heißt Repräsentant von \overline {a}.
Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als R_m.

Beispiel:
R_5 = \{\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\} = \{ \{...-5,0,5,10,...\}, \{-4,1,6,...\},...\}



Satz zu Restklassen

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

Seien a,b \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb {N}.
Dann gilt:a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: \overline {a} = \overline {b}.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) \overline {a} \subseteq \overline {b} und (2) \overline {b} \subseteq \overline {a}

zu (1): zeige \overline {a} \subseteq \overline {b}
Sei x \in \overline {a}, dann gilt x \equiv a\ mod\ m (Definition Restklasse).
Außerdem gilt a \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \in \overline {b} (_____________________________)
\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b} (_____________________________)

zu (2): zeige \overline {b} \subseteq \overline {a}








"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: \overline {a} = \overline {b}
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m

a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m

b \in \overline {b} \Rightarrow


Im Folgenden wird immer modulo 5 gerechnet!

Definition: Restklassenaddition

Seien \overline {a} \ ,\ \overline {b}\ \in \ R_m.
Dann ist \overline {a}\ \oplus\ \overline {b}\ =\ \overline {a+b}

Beispiele:

\overline {2}\ \oplus\ \overline {3}\ =\ \overline {2+3}\ =\ \overline {5}\ =\ \overline {0}

\overline {1022}\ \oplus\ \overline {753}\ =\ \overline {1775}\  =\ \overline {0}

\overline {927}\ \oplus\ \overline {1953}\ =

\overline {331}\ \oplus\ \overline {443}\ =

\overline {78}\ \oplus\ \overline {1113}\ =


Definition: Restklassenmultiplikation

Seien \overline {a}\ ,\ \overline {b}\ \in\ R_m.

Dann ist \overline {a}\ \otimes\ \overline {b}\ =\ \overline {a \ \cdot\ b}

Beispiele:
\overline {17}\ \otimes\ \overline {12}\ =\overline {17\ \cdot\ 12}\ =\ \overline {204}\ =\ \overline {4}

\overline {83}\ \otimes\ \overline {107}\ =\overline {83\ \cdot\ 107}\ =\ \overline {8881}\ =\ \overline {6}\ =\ \overline {1}

\overline {14}\ \otimes\ \overline {6}\ =

\overline {23}\ \otimes\ \overline {9}\ =


Folgerung aus bisher bewiesenen Sätzen und Definitionen

Aus den Sätzen a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m\ \Rightarrow\ a+c \equiv b+d\ mod\ m bzw. a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m\ \Rightarrow\ a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m

und a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}\ und den Definitionen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation kann man nun folgern, dass...

\overline {a}\ =\ \overline {b}\ \wedge\ \overline {c}\ =\ \overline {d}\ \Rightarrow\ \overline {a\ +\ c}\ =\ \overline {b\ +\ d}\ \Rightarrow \overline {a}\ \oplus\ \overline {c}\ =\ \overline {b}\ \oplus\ \overline {d}

\overline {a}\ =\ \overline {b}\ \wedge\ \overline {c}\ =\ \overline {d}\ \Rightarrow\ \overline {a\ \cdot\ c}\ =\ \overline {b\ \cdot\ d}\ \Rightarrow \overline {a}\ \otimes\ \overline {c}\ =\ \overline {b}\ \otimes\ \overline {d}

Beispiele:
\overline {1022}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {753}\ =\ \overline {3}\ \Rightarrow\ \overline {1022\ +\ 753}\ =\  \overline {2\ +\ 3}\ \Rightarrow\ \overline {1022}\ \oplus\ \overline {753}=\ \overline {2}\ \oplus\ \overline {3}

\overline {927}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {1951}\ =\ \overline {1}\ \Rightarrow

\overline {334}\ =\ \ \ \ \ \ \ \wedge\ \overline {99367}\ =\ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow

\overline {17}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {12}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow\ \overline {17\ \cdot\ 12}\ =\  \overline {2\ \cdot\ 2}\ \Rightarrow\ \overline {17}\ \otimes\ \overline {12}=\ \overline {2}\ \otimes\ \overline {2}

\overline {99341}\ =\ \overline {1}\ \wedge\ \overline {42}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow

\overline {579}\ =\ \ \ \ \ \ \ \wedge\ \overline {5683}\ =\ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow


Formuliere diese Folgerung ganz allgemein in eigenen Worten!










Quersummenregel

Die Quersummenregel gilt für die Division durch 3 und 9 und besagt: Wenn die Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 3 oder 9 teilbar.

Beispiel:
Quersumme von 2781 = Q(2781) = 2 + 7 + 8 + 1 = 18\
9 teilt 18 \Rightarrow 9 teilt 2781

2781\ \equiv\ 2\ \cdot\ 1000\ +\ 7 \cdot\ 100\ +









Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!