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Wie rechnet ein Computer?

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Diese Wiki-Seite beschäftigt sich mit der Frage, wie ein Computer rechnet, und gibt dabei einen Einblick in die Rechnerarchitektur. In diesem Zusammenhang wird die Addition zweier Zahlen im Rechner ausführlich erläutert, d.h. wir betrachten zuerst die Addition auf dem Papier (theoretisch) und schauen uns dann an, wie man einen einfachen Addierer schaltungstechnisch (praktisch) umsetzt.

Geeignet ist diese Einheit vor allem für Anfänger (ab der 5. Klasse), da alle benötigten Grundlagen anschaulich eingeführt und erläutert werden oder Links auf weiterführende bzw. vertiefende Selbstlerneinheiten und Themen weiterleiten. Gerade die Kapitel Grundlagen und Binäre Addition haben eine niedrige Anforderung. Zudem kann vieles durch "Probieren" im Kapitel Schaltungen selbst erlernt werden.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Um zu verstehen, wie ein Computer Zahlen addiert, schauen wir uns an, wie wir in der Grundschule zwei Zahlen miteinander addiert haben. Dieses Prinzip lässt sich im zweiten Schritt auf die Addition von Binärzahlen (damit rechnet der Computer) übertragen. Um eine Addierschaltung zu entwerfen, müssen wir uns dann zunächst mit Gattern (Grundbausteine einer Schaltung) auseinander setzen, um zuletzt aus diesen Bausteinen unseren Addierer zu konstruieren.

Grundlagen

Addition zweier ganzer Zahlen

Zunächst schauen wir uns die Addition an, und zwar so wie wir sie aus der Grundschule kennen. Falls du dich nicht mehr erinnerst, wie im Einzelnen die Addition funktioniert, kannst du dir die Erläuterung anzeigen lassen. Zu diesem Zweck wollen wir die Zahlen 8955973404 und 511652983 addieren:

Addition im Dezimalsystem

Wir schreiben also den Übertrag (hier: grau) immer in die nächste Spalte und addieren ihn zusätzlich zu den beiden Ziffern.
Als nächstes betrachten wir duale Zahlen und übertragen dieses Schema.

Binäre Zahlen

Da binäre Zahlen sich einfach im Computer darstellen lassen, wollen wir uns zuerst veranschaulichen, was binäre Zahlen eigentlich sind und warum diese leicht vom Rechner darstellbar sind. Das bedeutet, dass sie technisch leicht zu realisieren sind.

Binäre Zahlen sind Zahlen, die nur aus Nullen und Einsen bestehen, z.B. 10001101. Eine Stelle einer Binärzahl wird Bit genannt, d.h. die Zahl 10001101 ist 8 Bit lang. Um den Wert im Dezimalsystem anzugeben, müssen wir diese Zahl umrechnen. Dabei machen wir uns wieder klar, was die Ziffern einer Zahl im Dezimalsystem (10er-System) bedeuten und wenden das Prinzip auf die Dualzahl an.

Beispiel:
2039477 (im Dezimalsystem) bedeutet 7 x 1er, 7 x 10er, 4 x 100er, 9 x 1000er, 3 x 10000er, 0 x 100000er und 2 x 1000000er (siehe Stellenwertsystem).
10001101 (im Dualsystem) bedeutet also 1 x 1er, 0 x 2er, 1 x 4er, 1 x 8er, 0 x 16er/32er/64er und 1 x 128er.
Damit 10001101 = 1 x 128 + 0 x 64 + 0 x 32 + 0 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 141.

Falls du dir die Umrechnung zwischen Dezimal- und Binärsystem genauer anschauen willst, findest du unter Umrechnung von Zahlensystemen mehr Informationen.

Duale Zahlen sind deshalb einfach darstellbar, weil den beiden Ziffern genau ein Zustand zugeordnet werden kann. Null bedeutet dabei „Aus“ bzw. „kein Strom“ und Eins bedeutet „Ein“ bzw. „Strom fließt“. So kann einer Leitung Null oder Eins zugeordnet werden, je nachdem ob Strom fließt oder nicht und mehreren Leitungen nebeneinander dann eine binäre Zahl.

Bedeutung der Null und Eins

Die schwarze Leitung bedeutet, dass kein Strom fließt. Die schwarze Lampe drückt aus, dass sie nicht leuchtet. Der offene Schalter symbolisiert "OFF".
Die rote Leitung dagegen bedeutet, dass dort Strom fließt. Die gelbe Lampe bedeutet, dass sie leuchtet. Und der geschlossene Schalter drückt aus, dass der Schalter auf "ON" steht. In allen drei Fällen fließt Strom.

Im folgenden Video kannst deine Kenntnisse vertiefen:

Binäre Addition

Nun wollen wir die Summe zweier binärer Zahlen bilden. Auch hier müssen wir die Ziffern untereinander addieren, wobei wir nur beachten müssen, dass gilt:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10 (also 0 mit Übertrag = 1)
Wenn wir den Übertrag mitaddieren, müssen wir nur noch folgendes beachten:
0 + 0 + 1 = 1
0 + 1 + 1 = 10 (also 0 mit Übertrag =1)
1 + 0 + 1 = 10 (s.o.)
1 + 1 + 1 = 11 (also 1 mit Übertrag = 1)

Ein Beispiel:

Binäre Addition

Jetzt versuche es selbst mal:

Aufgabe 1:

Aufgabe 1

Aufgabe 2:

Aufgabe 2


Jetzt können wir die Additionstabelle für eine 1 Bit-Addition aufstellen, d.h. beide Zahlen und das Ergebnis bestehen nur aus einem Bit. Dies ist deshalb wichtig, da Speicherplatz im Rechner reserviert werden muss. Daher wird alles über einem Bit einfach abgeschnitten. Man nennt dies den Überlauf. Trotzdem notieren wir uns den Übertrag in den Klammern, d.h., dass eine 1-Bit-Addition im Dezimalsystem uns auch nur eine Ziffer liefert. Z.B. ist 1 + 9 = 0 (eigentlich 10) mit Übertrag gleich 1. Wir schreiben (1)0.
Im Folgenden kannst du dir die vollständige 1-Bit-Additionstabelle im Dezimalsystem anzeigen lassen:

Jetzt wollen wir eine eigene entsprechende Tabelle für die 1-Bit-Addition im Binärsystem aufstellen. Da wir jedoch im Binärsystem nur zwei Ziffern haben, nämlich die 0 und die 1, sieht die Tabelle viel einfacher aus:

1-Bit-Additionstabelle im Dualsystem

Aufgabe: Versuche jetzt diese Tabelle auszufüllen, indem du die Summe der jeweiligen Ziffern in die freien Felder schreibst.

Falls du Probleme hattest, kannst du dir auch das folgende Video anschauen.


Um deine bisherigen Fortschritte zu testen, kannst du das folgende Quiz beantworten:
(Es sind Mehrfachnennungen möglich!)

Frage 1: Was ist eine Dualzahl? (Eine Zahl, die aus Nullen und Einsen besteht.) (Eine binäre Zahl.) (!Die Zahl 2.) (!Eine Zahl, die zwei Bedeutungen hat.)

Frage 2: 1000 als Binärzahl … (… ist eine duale Zahl.) (!… ist eine 1-Bit-Zahl.) (… ist 8 im Dezimalsystem.) (… + 1000 ist 10000 im Binärsystem.)

Frage 3: Welche Zahl ist 15 im Dualsystem? (!1010) (1111) (!10000) (!11011)

Frage 4: Was ergibt 101 + 111 im Dualsystem? (!1111) (!1110) (1100) (!1000)

Frage 5: Was ergibt 101 + 111 im Dualsystem bei einer 3-Bit-Addition? (!1100) (!110) (!1000) (100)

Frage 6: Bei einer 1-Bit-Addition im Dualsystem … (!… gibt es nie einen Überlauf.) (… ist 0 oder 1 das Ergebnis.) (… ist 1 + 1 = 0.) (… ist der Übertrag auch der Überlauf.)

Frage 7: Der Übertrag bei der Addition zweier ganzer Zahlen ist … (… im Dezimalsystem nie größer als 1.) (… im Binärsystem nie größer als 1.) (!… genau das Gleiche wie der Überlauf.) (!… immer vorhanden.)

Frage 8: Der Überlauf bei der Addition zweier ganzer Zahlen … (… ist sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem entweder 0 oder 1.) (… ist von der Bit-Länge abhängig.) (… entspricht dem letzten Übertrag.) (… ist höchstens 1-Bit lang.)

Wertetabellen für 1-Bit-Addierer

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den 1-Bit-Additionstabellen zweier Binärzahlen.
Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, wie eine 1-Bit-Addition zweier Zahlen funktioniert. Diesbezüglich haben wir eine Additionstabelle für Binärzahlen aufgestellt. Wir wollen in diesem Abschnitt diese Tabelle etwas umschreiben und erhalten dann eine Schalttabelle für einen Halbaddierer (abgekürzt HA). Wir werden sehen, dass dieser Addierer uns allerdings nicht reichen wird. Deswegen werden wir mit einem zusätzlichen Eingangsübertrag unseren Addierer erweitern und erhalten dann einen Volladdierer (abgekürzt VA).

Halbaddierer

Wir erinnern uns an die Addiertabelle für die 1-Bit-Addition und schreiben sie etwas um. So erhalten wir:

1-Bit-Additionstabelle im Binärsystem mit Übertrag

Dabei ist ...
a die Ziffer der ersten Zahl
b die Ziffer der zweiten Zahl
s die Summe (engl. sum)
c der Übertrag (engl. carry)

Wir erhalten eine Schalttabelle für einen Halbaddierer. Warum genügt uns dieser HA jedoch nicht?
Dies führt uns zum nächsten Abschnitt:

Volladdierer

Die Antwort auf die obige Frage erkennen wir, indem wir uns noch mal die Addition zweier Binärzahlen vor Augen halten. Wir addieren bei einem HA immer nur zwei 1-Bit-Zahlen, nämlich das a und b in unserer Tabelle. Wenn wir jedoch zu den beiden 1-Bit-Zahlen noch einen Übertrag (carry) addieren, brauchen wir einen Addierer, der drei 1-Bit-Zahlen miteinander addiert, nämlich a, b und ein Eingangübertrag (carry_in oder cin). Den Ausgangsübertrag (vorher: c) nennen wir jetzt carry_out oder cout. Wenn der Eingangsübertrag 0 ist, ändert sich an der Tabelle vom HA nichts. Wir müssen also zusätzlich eine Tabelle erstellen, falls der Eingangsübertrag 1 ist. Demnach sehen unsere Tabellen wie folgt aus:

Additionstabelle ohne Eingangsübertrag (= 0)
Additionstabelle mit Eingangsübertrag (= 1)

Aufgabe : Fülle diese Tabellen aus?

Damit haben eine vollständige Beschreibung eines Volladdierers mittels einer Wertetabelle. Diese haben wir erhalten, indem wir die drei Eingangssignale a, b und cin addiert haben und als Ausgangssignale die Summe s und den Ausgangsübertrag cout erhalten.
Wir wollen jetzt noch einen anderen Ansatz kennenlernen, der uns auch später bei der Modellierung des Volladdieres helfen wird. Dabei schauen wir uns noch mal die Addition dreier 1-Bit-Zahlen an. Wir beschreiben diese Addition mit Hilfe der Addition zweier Zahlen, was einfacher ist. Wir unterteilen also die Addition dreier Zahlen in zwei Additionen zweier Zahlen.

Beispiel aus der Grundschule:

Addition dreier Zahlen

Wir addieren zuerst die ersten beiden Zahlen 6 und 9:

1.Addition

Es kommt 5 heraus (bei einer 1-Bit-Addition) und ein Übertrag von 1, das heißt 15. Dann wird das Ergebnis mit der letzten Zahl 8 addiert:

2.Addition

Es wird also die 5 mit der 8 addiert, was 3 und einen Übertrag von 1 ergibt, also 13. Zuletzt werden die beiden Überträge addiert, was 2 ergibt. Insgesamt kommt also 23 heraus:

Addition dreier Zahlen

Jetzt betrachten wir wieder die 1-Bit-Addition im Binärsystem.
Wir nehmen die Tabelle des HA und addieren zu der bereits vorhandenen Summe s den Eingangsübertrag cin und erhalten die neue Summe sneu. Der bei dieser Summe entstehende Übertrag cintern wird dann mit dem alten Übertrag c verrechnet und es entsteht der Ausgangsübertrag cout.

Additionstabelle eines HA
Additionstabelle eines VA

Jetzt füllen wir die 3. und 4. Spalte der Tabelle mit Hilfe des HA aus, dabei lassen wir die 5. und 6. Spalte unberührt.

VATab2.JPG

Der letzte Schritt besteht darin, den internen Übertrag cintern mit dem alten Übertrag zu addieren. Wir addieren dazu die 4. und 5. Spalte und tragen die Summe cout in die 6. Spalte ein. Hier entsteht kein weiterer Übertrag.

VATab3.JPG

Wir erhalten also:

1.Schritt beim VA
2.Schritt beim VA

Und insgesamt wieder:

VA

An dieser Stelle kannst du wieder deine bisherigen Fortschritte testen, indem du das folgende Quiz beantwortest:
(Es sind Mehrfachnennungen möglich!)

Frage 1: Ein Halbaddierer … (!… addiert die Hälfte einer Zahl.) (… gibt zwei 1-Bit-Zahlen aus.) (… addiert zwei 1-Bit-Zahlen miteinander.) (… rechnet nur mit 1-Bit-Zahlen.)

Frage 2: Beim HA steht das … (… a für das erste Eingangssignal.) (… b für das zweite Eingangssignal.) (!… s für das dritte Eingangssignal.) (!… c für das vierte Eingangssignal.)

Frage 3: Der HA berechnet … (!… die Summe s von a und c.) (!… den Übertrag s von a und b.) (!… die Zahlen a und b.) (… die Summe s und den Übertrag c.)

Frage 4: Der HA berechnet aus … (!… a=1 und b=1 genau s=2 und c=0.) (… a=1 und b=0 genau s=1 und c=0.) (!… a=0 und b=1 genau s=1 und c=1.) (… a und b genau die 2-Bit-Zahl cs.)

Frage 5 : Ein Volladdierer … (!… addiert auch 2-Bit-Zahlen.) (!… addiert zwei 1-Bit-Zahlen miteinander.) (!… gibt keinen Übertrag heraus.) (!… arbeitet genau wie zwei Halbaddierer.)

Frage 6: Beim VA steht das … (!… a und s für Eingangssignale.) (… s und cout für die einzigen Ausgangssignale.) (… a und cin für Eingangssignale.) (!… cin und cout für Ausgangssignale.)

Frage 7: Der VA berechnet … (… die Summe s von a und b.) (!… den Übertrag cin von a und b.) (!… die Zahlen a und b.) (… die Summe s und den Übertrag cout.)

Frage 8: Der VA berechnet aus … (… a=1, b=1 und cin=0 genau s=0 und cout=1.) (… a=1, b=0 und cin=1 genau s=0 und cout=1.) (... a=0, b=1 und cin=1 genau s=0 und cout=1.) (!… a, b und cin genau die 3-Bit-Zahl couts.)

Schaltungen

Im letzten Kapitel haben wir uns mit den Wertetabellen bzw. Wahrheitstabellen eines Halb- und Volladdierers beschäftigt. Jetzt wollen wir diese Pläne schaltungstechnisch umsetzen, d.h. einen HA und VA bauen. Im ersten Teil werden wir deshalb grundlegende Logikgatter (so heißen die Bauelemente für Schaltungen) kennenlernen. Aus diesen werden wir im zweiten Teil unseren HA und schließlich den VA zusammenbauen.
Es empfiehlt sich die gezeigten Schaltungen auszuprobieren. Hierfür kannst du LogiFlash verwenden und dir das folgende Tutorial ansehen:

Grundlegende Gatter

Es gibt drei grundlegende Gatter, aus denen man alle anderen Schaltungen bauen kann. Wir werden später sogar sehen, dass sogar zwei dieser drei Grundgatter reichen. Die Eingänge sind mit kleinen Buchstaben a und b versehen. Dagegen haben wir immer einen Ausgang y.

AND-Gatter

Wie der Name schon sagt, handelt es sich hier um ein UND-Bauelement. Dieses schaltet nur auf "Eins" bzw. lässt ein Signal durch, wenn beide Eingänge a und b auf "Eins" sind.

AND Symbol
AND Wahrheits- tabelle

Vergleichbar ist also diese Schaltung mit einer Reihenschaltung. Nur wenn beide Schalter auf "ON" stehen, leuchtet die Lampe.

Reihenschaltung

OR-Gatter

Hierbei handelt es sich um ein ODER-Bauelement. Dieses schaltet auf "Eins" bzw. lässt ein Signal durch, wenn einer der Eingänge a und b auf "Eins" ist.

OR Symbol
OR Wahrheits- tabelle

Vergleichbar ist also diese Schaltung mit einer Parallelschaltung. Wenn einer der Schalter auf "ON" steht, ist der Kreislauf geschlossen und die Lampe leuchtet.

Parallelschaltung

NOT-Gatter

Das NICHT-Bauelement negiert das vorliegende Signal. Es gibt nur einen Eingang a. Ist dieser "Null", so gibt das Bauelement "Eins" heraus. Bei "Eins" gibt es "Null" heraus.

NOT Symbol
NOT Wahrheits- tabelle

Vergleichbar ist also diese Schaltung mit der folgenden Schaltung. Hier sind die zwei Schalter durch die blaue Linie fest miteinander verbunden. Sie leitet keinen Strom. Betätigt werden kann nur der Schalter links. Ist er auf "OFF", so ist der rechte Schalter geschlossen und die Lampe leuchtet. Ist er "ON", so wird der rechte Schalter geöffnet und die Lampe leuchtet nicht.

NOT-Schaltung

Weiterführende Gatter

In diesem Abschnitt lernen wir drei weitere Gatter kennen, die eine wichtige Bedeutung haben. So lassen sich nur mit Hilfe des NAND-Gatters alle anderen Gatter aufbauen, was gerade technisch relevant ist. Trotzdem wollen wir erstmal alle weiteren Gatter mit Hilfe der drei Grundgatter aufbauen.

NAND-Gatter

Das "N" vor dem AND steht für "NOT". Hier liegt ein NICHT-UND-Gatter vor, der einfach das Ausgangssingal des UND-Gatters negiert.

NAND Symbol
NAND Wahrheits- tabelle

Aufgabe: Versuche dieses Gatter nur mit Hilfe der drei Grundgatterelemente zu bauen.

NOR-Gatter

Das "N" vor dem OR steht wieder für "NOT". Hier liegt ein NICHT-ODER-Gatter vor, der einfach das Ausgangssingal des OR-Gatters negiert.

NOR Symbol
NOR Wahrheits- tabelle

Aufgabe: Versuche dieses Gatter nur mit Hilfe der drei Grundgatterelemente zu bauen.

XOR-Gatter

Hier steht das "X" vor dem OR für "EXCLUSIVE". Es gibt nur ein Signal aus, wenn entweder a oder b auf "Eins" stehen. Es ist also ein ausschließendes ODER.

XOR Symbol
XOR Wahrheits- tabelle

Aufgabe: Versuche dieses Gatter mit Hilfe aller bisherigen Gatterelemente zu bauen. (Es gibt keine eindeutige Lösung!)

Eine weitere Möglichkeit für eine XOR Schaltung findest du hier:


Wir haben zu Beginn dieses Kapitels erwähnt, dass sich alle Gatter durch NAND-Gatter ausdrücken lassen. Also lassen sich auch das NOT-, AND- und und das OR-Gatter nur durch NAND-Gatter ausdrücken.


Aufgabe 1: Drücke das NOT-Gatter nur durch NAND-Gatter aus.

Aufgabe 2: Drücke das AND-Gatter nur durch NAND-Gatter aus.

Aufgabe 3: Drücke das OR-Gatter nur durch NAND-Gatter aus.


An dieser Stelle gibt es wieder ein kleines Quiz:
(Mehrfachnennungen sind möglich!)

Frage 1: Wie heißen die grundlegenden Basisgatter? (!NOR) (AND) (NOT) (!XOR)

Frage 2: Das OR-Gatter … (!… gleicht einer Reihenschaltung.) (… gleicht einer Parallelschaltung.) (… gibt immer "Eins" aus, wenn einer der Eingänge "Eins" ist.) (!… gibt immer "Null" aus, wenn einer der Eingänge "Null" ist.)

Frage 3: Das AND-Gatter … (… gleicht einer Reihenschaltung.) (!… gleicht einer Parallelschaltung.) (… gibt immer "Null" aus, wenn einer der Eingänge "Null" ist.) (!… gibt immer "Eins" aus, wenn einer der Eingänge "Eins" ist.)

Frage 4: Die 6 Gatter AND, OR, NOT, NAND, NOR und XOR … (!… haben immer zwei Eingänge und einen Ausgang.) (… lassen sich unter mehrfacher Verwendung nur eines Gatters ausdrücken.) (… unterscheiden sich durch ihre Werte- bzw. Wahrheitstabelle.) (… reichen aus, um einen Halbaddierer zu konstruieren.)

Frage 5: Kreuze an, wenn die Aussage richtig ist. (Zwei NOT-Gatter hintereinander geschaltet haben keine Wirkung auf das Eingangssignal.) (!Mit min. drei AND-Gattern lässt sich eine AND-Schaltung für drei Eingänge bauen.) (Mit min. drei NAND-Gattern lässt sich eine OR-SChaltung für zwei Eingänge bauen.) (!Wenn man die Eingangssignale beim AND-Gatter negiert, erhält man ein NAND-Gatter.)

Frage 6: Welche Gatter haben zwei Eingänge? (AND) (OR) (!NOT) (XOR)

Frage 7: Wenn man dasselbe Signal in beide Eingänge eines Gatters einspeist, dann wirken … (… OR- und AND-Gatter gleich.) (… NOR- und NOT-Gatter gleich.) (!… XOR- und NAND-Gatter gleich.) (… NOR- und NAND-Gatter gleich.)

Frage 8: Man benötigt … (… 1 NAND-Gatter, um eine NOT-Schaltung zu realisieren.) (!… 2 NAND-Gatter, um eine OR-Schaltung zu bauen.) (!… 1 NAND-Gatter, um ein AND-Gatter zu konstruieren.) (… insgesamt 6 NAND-Gatter, um alle drei Basisgatter zubauen.)

1-Bit-Addierer

Jetzt haben wir alle Kenntnisse um einen Halb- bzw. einen Volladdierer zu bauen. Es sei noch angemerkt, dass wir zur Konstruktion von Schaltungen ein wichtiges Thema übersprungen haben, nämlich die Boolesche Algebra. Sie formalisiert die Schaltungen und liefert ein gutes Instrument zur Konstruktion und Optimierung von Schaltungen. Wir versuchen ohne die Boolesche Algebra die Konstruktion der Addierer auf einem intuitiven Weg.

Konstruktion des Halbaddieres

Wir haben bereits die Wertetabelle eines HA. Um die Schaltung zu konstruieren, sollten wir vorher beide Ausgangssignale s und c getrennt behandeln. Wir erhalten also:

Wahrheitstabelle eines HA
HA mit Ausgang s
HA mit Ausgang c

Wenn wir uns die Tabelle mit dem Ausgang s anschauen, fällt uns auf, dass dies die gleiche Tabelle ist wie beim XOR-Bauelement. Die Tabelle für den Übertrag kommt uns auch bekannt vor. Dies ist genau die Tabelle des AND-Gatters. So erhalten wir:

Gatter für Summe s
Gatter für Übertrag c

Jetzt fügen wir beide Gatter zusammen und erhalten unseren Halbaddierer.

HA von innen
HA von außen

Konstruktion des Volladdieres

Wir erinnern uns an die Tabelle des VA, bei der der Eingangsübertrag cin zusätzlich dazuaddiert wurde. Zudem haben wir auch gesehen, dass wir die Addition der drei Zahlen a, b und cin in zwei Additionen unterteilen können. Der Übertrag cout wird dann aus den Überträgen der beiden Additionen gebildet.

VA Wahrheitstabelle

a, b und cin sind die drei Eingangssignale
s ist die Summe aus a und b
c ist der Übertrag bei der Addition von a und b
sges ist die Endsumme (Summe aus s und cin)
cintern ist der Übertrag bei der Addition von s und cin
cout ist der Ausgangsübertag (Summe aus c und cintern)

Da c und cintern nicht gleichzeitg "Eins" sind, kann der Ausgangsübertrag statt mit einem HA auch mit einem OR- oder XOR-Gatter realisiert werden.

VA von innen
VA von außen

Mehr-Bit-Addition

Jetzt sind wir endlich soweit. Wir können eine Mehr-Bit-Addition durchführen. Dazu erinnern wir uns an die Binäre Addition zu Beginn dieses Wikis und betrachten zur Vereinfachung eine 4-Bit-Addition.
Wie sieht jetzt die dazugehörige Schaltung aus?
Wir müssen unsere VA in eine Reihe schalten, d.h. wir verbinden die cout mit dem nachfolgenden cin. Der Übertrag wird also bei der nächsten Stelle dazuaddiert.

4-Bit-Additionsschaltung

Beispiel:

4-Bit-Addition auf dem Papier
4-Bit-Addition als Schaltungsentwurf

Aufgabe 1: Baue einen 8-Bit-Addierer.

Aufgabe 2: Baue einen 4-Bit-Addierer für drei Zahlen a, b und c.


Ende

Wir haben das Ende dieser Wiki-Seite erreicht. Du hast einen kleinen Einblick in die Funktionsweise eines Rechners erhalten. Dabei hast du die Binäre Addition sowohl auf dem Papier als auch schaltungstechnisch nachvollzogen. Ich hoffe, dass es dir Spaß gemacht hat und du einiges gelernt hast. Ich kann dir nur empfehlen viel mit dem vorgestellten Programm oder vergleichbaren zu arbeiten. Dies wird dir helfen einfacher mit den Schaltungen/Gatter umzugehen.

Quellen

Vorlesungsskript WS 2013/14: Einführung zur Technischen Informatik (Prof. Dr. Ulrich Brüning)

Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem
http://de.wikipedia.org/wiki/Logikgatter

Eingebettete Youtube Videos:
Binärcode(Dualcode): https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=tNtFIkpowSQ
Addition von Dualzahlen: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=2YJxC_FwBLE
Logiflash.flv: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=zz-6C-z7aRk

Benutzte Software:
LogiFlash: http://de.logiflash.com/workbench.php