Aufgaben zu algebraischen Strukturen

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Verknüpfungstafeln

Erstelle die Verknüpfungstafel von \mathbb{Z}_{7} und \mathbb{Z}_{12} bzgl. Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation.

  • Bestimme alle Nullteiler.
  • Bestimme zu den Elementen aus \mathbb{Z}_{7} und \mathbb{Z}_{12} die inversen Elemente bzgl. Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation.


Nullteiler

Wir definieren uns nochmal kurz den Begriff Nullteiler:

Gegeben sei ein Ring (R;+;\cdot). Ein Element a\in R\setminus\{0\} heißt linker (bzw. rechter) Nullteiler genau dann, wenn ein b\in R mit b\not=0 existiert mit a\cdot b=0 (bzw. b\cdot a=0).

  1. Bestimmen Sie alle Nullteiler in \mathbb{Z}_{6} und \mathbb{Z}_{8}.
  2. Bestimmen Sie alle Nullteiler in \mathbb{Z}_{15}. Haben die Klassen \overline{8} und \overline{10} darin multiplikative Inverse? Bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
  3. Suchen Sie in weiteren Restklassenringen Elemente, die Nullteiler sind. Suchen Sie außerdem Elemente, die Inverse besitzen. Was fällt Ihnen auf?
  4. Haben Sie bereits eine Vermutung, welche Bedingung gelten muss, damit es zu einer Restklasse ein Inverses gibt?

Inverse Elemente

Wir rechnen modulo n. Man sagt: Zu einem Element a ist (bzgl. der Multiplikation) das Element b invers genau dann, wenn a\cdot b \equiv 1 mod n.

  1. Suchen Sie zu verschiedenen n und a das inverse Element b zu a.
  2. Für welche a gibt es bei einem gegebenen n kein Inverses?
  3. Gibt es Elemente n, bei denen es für jedes a<n ein Inverses gibt? Welche sind das?