Aufgaben zur Teilbarkeit

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1. Beweisen Sie!

  1. \forall a: \mathbb{Z}. 1|a
  2. \forall a: \mathbb{Z}. a|a
  3. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge b|c\Rightarrow a|c
  4. \forall a,b: \mathbb{Z}. a|b\wedge b|a\Rightarrow |a|=|b|
  5. \forall a,b,c,d: \mathbb{Z}. a|b\wedge c|d\Rightarrow ac | bd
  6. \forall a,b,d: \mathbb{Z}. a|b\Rightarrow a | bd
  7. \forall a,b,d: \mathbb{Z}. a|b\Rightarrow ad | bd
  8. \forall a,b,c,r,s: \mathbb{Z}. a|b\wedge a|c\Rightarrow a|(rb+sc)
  9. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge a|c\Rightarrow a|(b+c)
  10. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge a|c\Rightarrow a|(b-c)

2. Beweisen oder widerlegen Sie!

  1. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge b|c\Rightarrow a\cdot b|c
  2. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge a|c\Rightarrow a|(b\cdot c)
  3. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|(b\cdot c)\Rightarrow a|b\vee a|c
  4. \forall a,b,c,d: \mathbb{Z}. a|b\wedge c|d\Rightarrow (a+b)|(c+d)
  5. \forall a,b: \mathbb{Z}. a|(b+1)\Rightarrow a|(b^2-1)
  6. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|(b+c)\Rightarrow a|b\wedge a|c
  7. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a\cdot b|c\wedge a\not|c\Rightarrow b|c
  8. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|(b+c)\wedge a|b\Rightarrow a|c
  9. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a|b\wedge a\not|c\Rightarrow a\not|(b+c)
  10. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a\not |b\wedge b|c\Rightarrow a\not|c
  11. \forall a,b,c: \mathbb{Z}. a\not|b\wedge a\not|c\Rightarrow a\not|(b+c)
  12. \forall a,b,c,d: \mathbb{Z}. a|b\wedge a|c\wedge b|d\wedge c|d\Rightarrow a^2|(bc+d)

Lösungen