Konstruktion und Kongruenzen von Dreiecken

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Unterrichtsreihe Dreiecke mit GeoGebra
Unterrichtsreihe Dreiecke mit GeoGebra
Einführung in Geogebra - Besondere Punkte im Dreieck - Die Eulergerade - Konstruktion und Kongruenzen von Dreiecken
Seminar für Lehrer

In den letzten Stunden haben wir immer wieder mit Dreicken gearbeitet, jetzt wollen wir herausfinden, wann und wie man bei gegebenen Seiten und/oder Winkeln ein Dreieck konstruieren kann. Hierfür benutzen wir folgende Notation:

Dreieck Benennung.svg

Im folgenden steht s für eine Seite, ein w für einen Winkel.

Die Reihenfolge dieser Bezeichnungen zeigt uns auch deren Lage zueinander; z.B. bedeutet sws: einen Winkel, der umgeben von zwei Seiten ist.

In unserer Zeichnung wäre dieses der Fall, wenn die Seiten c und a sowie der Winkel \beta gegeben wären.

Alternativ könnten auch Seiten b und c sowie der Winkel \alpha oder die Seiten b und a sowie der Winkel \gamma gegeben sein.


Maehnrot.jpg
Merke:
Kongruenz
Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn alle Seiten und alle Winkel übereinstimmen.

Konstruktion sss

Anleitung zur Konstruktion von sss:

Gegeben sind von einem Dreieck die drei Seitenlängen, z.B. a = 6cm, b = 9cm und c = 10cm.

  • Zeichne eine beliebige der drei Seiten mit den beiden Eckpunkten, z.B. die Seite BC mit der Länge a = 6cm.
  • Zeichne um einen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der angrenzenden Seite als Radius, hier also den Kreis k1 um C mit dem Radius b = 9cm.
  • Zeichne um den anderen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der angrenzenden Seite als Radius, hier also den Kreis k2 um B mit dem Radius c = 10cm.
  • Die beiden Kreise schneiden sich im gesuchten dritten Eckpunkt, hier schneiden sich die beiden Kreise k1 und k2 im Punkt A.
  • Zeichne die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AB und AC.

Link Konstruktion sss


Maehnrot.jpg
Merke:
Kongruenzsatz sss
Stimmen zwei Dreiecke in den Längen der drei Seiten überein, so sind sie zueinander kongruent.


Arbeitsaufträge: Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion sss1, sss2, sss3)

1) a=4cm, b=5cm, c=6cm

2) a=7cm, b=4cm, c=4cm

3) a=6cm, b=3cm, c=2,5cm

Konstruktion sws

Anleitung zur Konstruktion von sws:

Gegeben sind von einem Dreieck zwei Seitenlängen und die Weite des eingeschlossenen Winkels, z.B. a = 6cm, b = 9cm und \gamma = 81º. So konstruiert man mit diesen Angaben das Dreieck:


  • Zeichne eine beliebige der beiden Seiten mit den beiden Eckpunkten, z.B. die Seite BC mit der Länge a = 6cm.
  • Trage an diese Seite in dem Eckpunkt, an dem der Winkel anliegt, diesen Winkel an, hier also an BC im Punkt C den Winkel ACB mit \gamma = 81º.
  • Zeichne um den gleichen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der anderen Seite als Radius, hier also den Kreis k um C mit dem Radius b = 9 cm.
  • Der freie Schenkel des Winkels und der Kreis schneiden sich im gesuchten dritten Eckpunkt, hier also der freie Schenkel des Winkels ACB und der Kreis k im Punkt A.
  • Zeichne die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AB und AC .

Link Konstruktion sws


Maehnrot.jpg
Merke:
Kongruenzsatz sws
Stimmen zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des von diesen eingeschlossenen Winkels überein, so sind sie zueinander kongruent.


Arbeitsaufträge

Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion sws1, sws2, sws3)

1) b=4.5cm, \alpha=50°, c=3.75cm

2) a = 5,2cm, \beta = 54º, c = 4,6cm

3) a = 6,6cm, \gamma = 78º, b = 3,9cm

Stift.gif   Aufgabe

Hier ist eine Aufgabe für Profis:

Flussüberquerung

Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar; Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Bootes \vec{v_e} und die Strömungsgeschwindigkeit \vec{v_w} sich zur Geschwindigkeit \vec{v_b} überlagern, die die Bewegung des Bootes über den Boden angibt. a ist der „Kompasskurs“ des Bootes.

Ein Boot hat die Eigengeschwindigkeit 14km/ h , die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km/ h.

Überqueerung.jpg

a) Bestimme, welchen Kompasskurs der Kapitän steuern muss, damit das Boot das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreicht.


Konstruktion wsw

Anleitung zur Konstruktion von wsw:

Gegeben sind von einem Dreieck eine Seitenlänge und die Weiten der beiden anliegenden Winkel, z.B. a = 6cm, \beta = 63º und \gamma = 81º. So konstruiert man mit diesen Angaben das Dreieck:

  • Zeichne die Seite mit den beiden Eckpunkten, hier die Seite BC mit der Länge a = 6cm.
  • Trage an die Seite in einem der beiden Eckpunkte den dort anliegenden Winkel an, hier z.B. an BC im Punkt B den Winkel CBA mit \beta = 63º.
  • Trage an die Seite in dem anderen Eckpunkt den dort anliegenden Winkel an, hier also an BC im Punkt C den Winkel ACB mit \gamma = 81º.
  • Die freien Schenkel der Winkel schneiden sich im gesuchten dritten Eckpunkt, hier also der freie Schenkel des Winkels CBA und der freie Schenkel des Winkels ACB im Punkt A.
  • Zeichne die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AB und AC .

Link Konstruktion wsw

Maehnrot.jpg
Merke:
Kongruenzsatz wsw
Stimmen zwei Dreiecke in der Länge einer Seite und den Größen der beiden anliegenden Winkel überein, so sind sie zueinander kongruent.


Arbeitsaufträge

Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion wsw1, wsw2, wsw3, wsw4)


1) a = 5cm, \beta = 52º und \gamma = 45º

2) c = 3,8cm, \alpha = 35º, \beta = 63º

3) b = 3,8cm, \alpha = 35º, \gamma = 100º

4) a = 7,0cm, \beta = 140º, \gamma g = 50º

Stift.gif   Aufgabe

Hier ist eine Aufgabe für Profis:

Kollisionskurs:

Das Passagierschiff Astor und der Schlepper Bugsier sind auf gleicher Höhe 6 Seemeilen (sm) voneinander entfernt. Die Astor steuert den Kurs 10° und hat eine Geschwindigkeit von 20 Knoten, die Bugsier den Kurs 340° und die Geschwindigkeit 22 Knoten.

Kollision.jpg


a) Bestimme, wie weit die beiden Schiffe noch von der möglichen Kollisionsstelle entfernt sind.

Tipp: Steuert ein Schiff den Kurs 0° , so fährt es genau Richtung Norden, bei einem Kurs von 90° genau Richtung Osten, bei einem Kurs von 180° genau Richtung Süden und bei einem Kurs von 270° genau Richtung Westen.


b) Untersuche, ob die beiden Schiffe zusammenstoßen.

Tipp: Bei einer Geschwindigkeit von einem Knoten legt ein Schiff in einer Stunde eine Seemeile zurück.


Konstruktion Ssw

Anleitung zur Konstruktion von Ssw:


Gegeben sind von einem Dreieck zwei Seitenlängen und die Weite des Winkels, der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt, z.B. a = 6cm, b = 9cm und \beta = 63º. So konstruiert man mit diesen Angaben das Dreieck:

  • Zeichne die kürzere der beiden Seiten mit den beiden Eckpunkten, hier die Seite BC mit der Länge a = 6cm.
  • Trage an diese Seite in dem Eckpunkt, an dem der Winkel anliegt, diesen Winkel an, hier also an BC im Punkt B den Winkel CBA mit \beta = 63º.
  • Zeichne um den anderen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der anderen Seite als Radius, hier also den Kreis k um C mit dem Radius b = 9cm.
  • Der freie Schenkel des Winkels und der Kreis schneiden sich im gesuchten dritten Eckpunkt, hier also der freie Schenkel des Winkels CBA und der Kreis k im Punkt A.
  • Zeichne die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AB und AC

Link Konstruktion Ssw

Maehnrot.jpg
Merke:
Kongruenzsatz Ssw
Stimmen zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des Gegenwinkels der größeren Seite überein, so sind sie zueinander kongruent.


Arbeitsaufträge Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion Ssw1, Ssw2, Ssw3, Ssw4)

1) a = 6cm, b = 9cm und \beta = 63º

2) a = 3,8cm, c = 4,6cm und \gamma = 72º

3) a = 5,3cm, c = 3,9cm und \alpha = 40º

4) a = 3,3cm, b = 6,8cm und \beta = 125º

Konstruktion sSw

Anleitung zur Konstruktion von sSw:


Gegeben sind von einem Dreieck zwei Seitenlängen und die Weite des Winkels, der der kürzeren der beiden Seiten gegenüberliegt, z.B. a = 4,5cm (a = 5,3cm ; a = 6cm ), b = 9cm und \alpha = 36° . So konstruiert man mit diesen Angaben das Dreieck:

  • Zeichne die längere der beiden Seiten mit den beiden Eckpunkten, hier die Seite AC mit der Länge b = 9cm .
  • Trage an diese Seite in dem Eckpunkt, an dem der Winkel anliegt, diesen Winkel an, hier also an AC im Punkt A den Winkel BAC mit \alpha = 36° .
  • Zeichne um den anderen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der anderen Seite als Radius, hier also den Kreis k um C mit dem Radius a = 4,5cm (a = 5,3cm ; a = 6cm ).
  • Der freie Schenkel des Winkels und der Kreis schneiden sich – in Abhängigkeit von der Länge der kürzeren Seite – entweder
A. gar nicht: dann gibt es kein Dreieck mit den gegebenen Angaben wie hier bei a = 4,5cm .
B. im einem Punkt: dann gibt es ein Dreieck mit den gegebenen Angaben wie hier bei a = 5,3cm , wo sich der freie Schenkel des Winkels BAC und der Kreis k nur im Punkt B schneiden.
C. in zwei Punkten: dann gibt es zwei Dreiecke mit den gegebenen Angaben wie hier bei a = 6cm , wo sich der freie Schenkel des Winkels BAC und der Kreis k in den beiden Punkten B_1 und B_2 schneiden.
  • Zeichne entweder
B. die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AB und BC .
C. für die zwei Dreiecke jeweils die beiden fehlenden Seiten, hier also zum einen die Seiten AB_1 und B_1C sowie zum anderen die Seiten AB_2 und B_2C.

Link Konstruktion sSw

Maehnrot.jpg
Merke:
Liegt die Situation sSw vor können drei Fälle vorliegen
  • Es gibt keine Lösung
  • Es gibt eine Lösung
  • Es gibt zwei Lösungen


Arbeitsaufträge Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion sSw1, sSw2, sSw3)

1) a = 5cm , b = 7cm und \alpha = 34°

2) c = 3cm , a = 5cm und \gamma = 40°

3) b = 3cm , c = 6cm und \beta = 29°

Konstruktion www

Anleitung zur Konstruktion von www:

  • Zeichne zuerst eine Gerade c
  • Die Winkel \alpha und \beta kannst du an irgendeinem Punkt der Geraden c annehmen(damit definierst du die Strecke c)
  • Zeichne nun Geraden von deinen Punkten A und B und defineiere den Schnittpunkt dieser beiden als C

Link Konstruktion www


Arbeitsaufträge Konstruiere in Geogebra folgende Dreiecke: (Dateinamen: Konstruktion www1, www2, www3)

1) \alpha = 34°, \beta = 76° und \gamma = 70°

2) \alpha = 67°, \beta = 44° und \gamma = 69°

3) \alpha = 80°, \beta = 80° und \gamma = 20°

Dreiecksungleichung

Maehnrot.jpg
Merke:
Dreiecksungleichung
Die Summe zweier Seitenlängen ist in einem Dreieck stets größer als die Länge der dritten Seite
  • a+b>c
  • b+c>a
  • c+a>b