Federpendel - eine Herleitung

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Mathematische Modellierung - Interessante Größen

Simple harmonic oscillator.gif Federpendel.PNG

Wir betrachten ein einfaches Federpendel: Ein Wägelchen (rot) mit einer bestimmten Masse schwingt an einer Feder hin- und her, die an einer Wand (schraffierte Fläche) befestigt ist. Wir betrachten die ganze Szenerie von oben, so dass wir die Räder des Wägelchens nicht sehen.


Das Wägelchen schwingt irgendwie um die so genannte Ruhelage hin- und her. Aber wie genau? Um das herauszubekommen, schauen wir uns die physikalischen Zusammenhänge im Zusammenhang mit dem Pendel näher an.


Bevor man überhaupt mathematische Physik betreiben kann, muss man den physikalischen Größen erst einmal Namen geben:

Rein kinematische Größen (die nur mit Bewegung zu tun haben)
Auslenkung des Wägelchens (0m : Ruhelage der Feder) y(t)
Geschwindigkeit des Wägelchens v(t)
Beschleunigung des Wägelchens a(t)
Dynamische Größen (die auch mit Kräften zu tun haben)
Masse des Wägelchens m
Federkonstante (Härte) der Feder D
Kraft der Feder auf das Wägelchen F(t)

Diejenigen Größen, die sich bei der Schwingung in der Zeit verändern, werden als Funktion der Zeit, also mit "t" in Klammern, geschrieben. Wir nennen sie zeitabhängige Größen.

Für die Größen, die eine Richtung haben (Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft) müssen wir noch die Richtung angeben, die positiven Werten entspricht. Wir sagen:

  • von der Wand weg: positiv
  • zur Wand hin: negativ.

Mathematische Modellierung - Physikalische Zusammenhänge

Größen alleine helfen jedoch nicht viel. Physik besteht vor allem darin, Zusammenhänge zwischen Größen zu finden und diese - wenn's irgendwie geht mathematisch - zu beschreiben. Wir haben es hier mit einer Feder zu tun, die je nach Auslenkung eine Kraft ausübt. Diese Kraft übt sie auf eine Masse aus. Wir finden hier also zwei alte Bekannte und können sie geeignet anwenden. Aber Vorsicht: Auch Vorzeichen können eine Rolle spielen, weil sie Aussagen über die Richtungen machen können.

1. Das Hookesche Gesetz

F(t)=m \cdot a(t)
F(t)=-m \cdot a(t)
F(t)=D \cdot y(t)
F(t)=-D \cdot y(t)
E=mc^2

2. Das Zweite Newtonsche Gesetz (auch "Zweites Newtonsches Axiom")

F(t)=m \cdot a(t)
F(t)=-m \cdot a(t)
F(t)=D \cdot y(t)
F(t)=-D \cdot y(t)
E=mc^2

Punkte: 0 / 0


Die Kraft taucht in beiden Beziehungen auf, gleichzeitig ist sie eine Größe, die wir beim Beobachten des Pendels gar nicht messen können, es sei denn, wir würden besondere Messtechniken einsetzen. Stattdessen verwenden wir sie, um die beiden Zusammenhänge zu einem einzigen zu reduzieren:

1. Zusammenhang von Auslenkung und Beschleunigung

a(t)=\frac{D}{m} \cdot y(t)
a(t)=-\frac{D}{m} \cdot y(t)
a(t)=\frac{m}{D} \cdot y(t)
a(t)=-\frac{m}{D} \cdot y(t)

Punkte: 0 / 0


Eine Formel für die Auslenkung y(t)

Wir uns jetzt gemeinsam zwei erfolgreiche Verfahren überlegen, eine Formel für y(t) zu finden. Beide haben Vor- und Nachteile und beide werden wir im weiteren Verlauf noch brauchen. Deshalb stellen wir auch beide vor.

Erster Möglichkeit: Eine zeitabhängige Variable reicht

Wir haben jetzt eine Formel, die die Beschleunigung a(t) mit der Auslenkung y(t) in Beziehung setzt.
Aber es gibt noch einen Zusammenhang.
Die erste Ableitung der Auslenkungsfunktion y(t) ist gerade die Geschwindigkeit v(t). Mathematisch geschrieben:
\dot y(t)=v(t).
Außerdem hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung in ähnlicher Weise zusammen:
\dot v(t)=a(t).
Damit gilt aber auch, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung der Auslenkung ist:
\ddot y(t)=a(t).

Wenn wir das benutzen, so hat unsere Gleichung nur noch eine einzige zeitabhängige Variable:
\ddot y(t)=-\frac{D}{m} \cdot y(t).
Das ist eine so genannte Differenzialgleichung (DGL): In ihr kommt eine Funktion, in diesem Fall y(t) und ihre eigene Ableitung \ddot y(t) vor. Da es sogar die zweite Ableitung ist, spricht man von einer DGL zweiter Ordnung.
Wir müssen nur noch eine Funktion finden, die, wenn man sie ableitet, die Formel gerade "richtig macht".

Zweite Möglichkeit: Zwei zeitabhängige Variablen legen zu jedem Zeitpunkt die Zukunft fest

Es gibt viele Möglichkeiten, ein Pendel in Schwingung zu versetzen. Wir nehmen einfach einmal an, das passiert zum Zeitpunkt t=0.
Man kann es einfach auslenken und dann loslassen:
Man kann ihm aber auch der Ruhelage direkt einen kleinen Stoß geben.
Und natürlich kann man beides auch kombinieren.
Wichtig ist dabei: Weiß ich zu einem Zeitpunkt t die Auslenkung y(t) und die Geschwindigkeit v(t), dann kenne ich diese Werte für alle späteren Zeitpunkte t (Dabei setzen wir natürlich voraus, dass niemand plötzlich in das physikalische Geschehen eingreift).

Man sagt: "Die Kombination der zeitabhängigen Größen y(t) und v(t) legt einen eindeutigen Zustand des Pendels zum Zeitpunkt t fest. Man nennt diese beiden Größen daher auch Zustandsgrößen. Natürlich muss man auch D und m kennen, um die Zukunft des Pendels berechnen zu können. Allerdings sind diese zeitlich konstant. Man nennt sie deshalb nicht Zustandsgrößen sondern Parameter.

Wir versuchen nun, in zwei Gleichungen zu beschreiben, wie sich die beiden Zustandsgrößen zu einem gegebenen Zeitpunkt t ändern. Mathematisch: Wir suchen Formeln für ihre zeitliche Ableitung. In denen dürfen bei unserer zweiten Möglichkeit die Zustandsgrößen, aber nicht deren Ableitungen stehen, was aber auch kein Problem ist.
\dot y(t)=v(t)
\dot v(t)=-\frac{D}{m}\cdot y(t)

Wir haben hier zwei Differenzialgleichungen, genau genommen ein so genanntes Differenzialgleichungs-System (DGLS). Da nur die ersten Ableitungen vorkommen spricht man von einem DGLS erster Ordnung.

Wie bei der ersten Möglichkeit suchen wir auch hier nun eine Funktion y(t), die das Gleichungssystem richtig macht. Eigentlich suchen wir auch noch die Funktion v(t); wenn wir aber erst einmal y(t) haben, bekommen wir v(t) durch Ableiten "fast geschenkt".


Des Rätsels Lösung

Schwingungsanimation nogif.svgHarmonischeSchw.gif
Darstellung einer harmonischen Schwingung.

Aus der Art, wie das Pendel sich bewegt, kann man schon gut raten, dass es sich um eine sinusartige Schwingung handelt. Allerdings wäre es ein bisschen zu einfach, einfach nur y(t)=sin(t)
zu verwenden. Bei genauerem Nachdenken wird auch klar, weshalb.

1. Hier einige Vorschläge; es können mehrere richtig sein!

Die Sinusfunktion hat keine Einheit, die Auslenkung y(t) bräuchte jedoch die Einheit "Meter".
t hat die Einheit Sekunden. Die Sinusfunktion "will" jedoch eine reine Zahl (Winkel kann man im Bogenmaß ja auch als reine Zahl darstellen) in den Klammern haben - was soll auch der Sinus von einer Sekunde sein?
Die Sinusfunktion ist nur für Werte zwischen 0 und 2\pi im Bogenmaß definiert.
Der Sinus nimmt nur Werte zwischen -1 und +1 an. Die Schwingung eines Pendels kann jedoch mehr oder weniger stark sein. Man spricht hier von einer unterschiedlichen Amplitude y_0 (s. Zeichnung).
Die Periodendauer T wäre nicht berücksichtigt.

2. In der Formel für y(t)=y_0 \cdot sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) sind die genannten Probleme gelöst, denn ...

... die Multiplikation mit der Amplitude y_0 mit der Einheit "Meter" sorgt dafür, dass die Auslenkung jetzt ebenfalls die Einheit "Meter" hat.
... die Division durch T sorgt dafür, dass sich die Einheit "Sekunde" in der Klammer des Sinus wegkürzt.
... die Funktion hat jetzt +y_0 und -y_0 als Maximum bzw. Minimum.
... je größer jetzt die Periodendauer T ist, desto größer muss t werden, damit in der Klammer der Wert 2\pi erreicht wird.
... der Bruch in der Klammer des Sinus erweitert dessen Definitionsbereich.

3. Jetzt betrachten wir noch die Ableitungen unserer Funktion, um zu überprüfen, ob sie die DGL bzw. das DGLS tatsächlich "richtig machen"

\dot y(t)=y_0\cdot cos(\frac{2\pi}{T} t) (wegen der Summenregel)
\dot y(t)=y_0\cdot (\frac{2\pi}{T})\cdot cos(\frac{2\pi}{T} t) (wegen der Kettenregel)
\ddot y(t)=-y_0\cdot sin(\frac{2\pi}{T} t) (wegen der Summenregel)
\ddot y(t)=-y_0\cdot (\frac{2\pi}{T})^2\cdot sin(\frac{2\pi}{T} t) (wegen der Kettenregel)

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Nun kann man die Funktion bzw. die zweite Ableitung z.B. in die DGL zweiter Ordnung (Möglichkeit 1) einsetzen. Tatsächlich kommt das richtige Ergebnis heraus ...

1. ... vorausgesetzt man legt zusätzlich fest:

\frac{2\pi}{T}=-\frac{D}{m}
\frac{2\pi}{T}=\frac{D}{m}
\frac{2\pi}{T}=\frac{m}{D}
\frac{2\pi}{T}=-\frac{m}{D}
(\frac{2\pi}{T})^2=-\frac{D}{m}
(\frac{2\pi}{T})^2=\frac{D}{m}
(\frac{2\pi}{T})^2=\frac{m}{D}
(\frac{2\pi}{T})^2=-\frac{m}{D}

Punkte: 0 / 0


Die Größe \frac{2\pi}{T} scheint wichtig zu sein, übrigens auch bei anderen Pendeln und Schwingungen. Der Name dieser Größe ist Winkelfrequenz oder auch Kreisfrequenz. In manchen Quellen wird die Größe auch als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Weil der Bruch etwas umständlich zu schreiben ist, führt man eine Abkürzung ein definiert:
\omega=\frac{2\pi}{T}
wobei \omega nicht etwa ein deutsches "weee" ist, (was man bei "Winkelfrequenz" ja vermuten könnte) sondern ein kleines griechisches "omega".
Die Winkelfrequenz \omega muss man von der eigentlichen Schwingungsfrequenz f, die einfach der Kehrwert der Periodendauer T ist.

Zwischenstand

Bisher haben wir jetzt also eine Funktion für die Auslenkung des Federpendels in der Zeit gefunden:
y(t)=y_0 \cdot sin(\omega t)
mit
y(t) : Auslenkung des Pendels zum Zeitpunkt t
y_0 : Amplitute (größte Auslenkung nach einer Seite)
\omega=\sqrt{\frac{D}{m}} : Winkelfrequenz
D : Federkonstante der Feder
m : Masse des Wägelchens

Es muss nicht immer (der unverschobene) Sinus sein

Kritische Geister mögen es vielleicht schon gemerkt haben: Ganz vollständig kann unser Ansatz
y(t)=y_0 \cdot sin(\omega t) doch nicht sein. Denn egal wie man Amplitude y_0 und Winkelfrequenz \omega auch wählt: Zum Zeitpunkt t=0 hat die Auslenkung y(t=0) auf jeden Fall den Wert 0, denn sin(0)=0, da kann auch die Physik nichts dran ändern.

Der Fall also, dass man das Pendel auslenkt und zum Zeitpunkt t=0 einfach loslässt, wird von unserer Gleichung nicht beschrieben.

Dieses Problem löst uns jedoch eine letzte kleine Erweiterung:

y(t)=y_0 \cdot sin(\omega t+\varphi) mit \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}
und Größen
y(t) : Auslenkung des Pendels zum Zeitpunkt t
y_0 : Amplitute (größte Auslenkung nach einer Seite)
\omega : Winkelfrequenz
D : Federkonstante der Feder
m : Masse des Wägelchens
\varphi : Phasenverschiebung der Schwingung

Man kann sich leicht überlegen, dass ein von 0 verschiedener Wert für die so genannte Phasenverschiebung \varphi die Sinusfunktion im Koordinatensystem in t-Richtung verschiebt.


Wenn wir also das Pendel einfach bei +y_0 loslassen, dann kann man diesen Fall mit der Setzung \varphi=\frac{\pi}{2} beschreiben, wie wir schnell nachprüfen:

y(t=0)=y_0 \cdot sin(\omega\cdot 0\text{s} + \frac{\pi}{2})=y_0\cdot sin(\frac{\pi}{2})=y_0\cdot 1=y_0

Tatsächlich: Zum Zeitpunkt t=0 hat die Auslenkung tatsächlich den Wert der Amplitude.