Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

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Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Versuch 2.1: Beschleunigung eines Wagens auf der schiefen Ebene

Wir verwenden den selben Versuchsaufbau wie im Versuch 1.1, nur dass diesmal die Ebene, auf der der Wagen hinab rollt, noch stärker geneigt ist. Wir nennen dies eine schiefe Ebene. Jetzt wird nicht nur die Reibung ausgeglichen, sondern der Wagen wird auch immer schneller. Es entsteht eine beschleunigte Bewegung.


Acceleration1.jpg

Teststreifen einer Bewegung auf der schiefen Ebene, Spur (A)

Betrachten Sie den Teststreifen, den die Nadel beschrieben hat. Woran erkennen Sie, dass die Geschwindigkeit im Lauf der Zeit größer wird?

Aufgabe 2.1: Auswertung des Versuchs 2.1

Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit des Wagens zu den Zeitpunkten t = 0,1 s , 0,2 s , 0,3 s … und stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen! Benutzen Sie dazu immer zwei benachbarte Nadelstiche!

Das karierte Papier hat eine Kästchenbreite von 0,50 cm .

Achtung: Die Zeitdauer zwischen zwei Stichen beträgt nur 1/50 s = 0,02 s , nicht 1/100 s wie in Versuch 1.1, da der Elektromagnet mit einer Frequenz von 50 Hz arbeitet.

Fertigen Sie nun ein sauberes t-v-Diagramm der Bewegung! Überlegen Sie zunächst die Größe der Achsen und ihre Beschriftung!



Aufgabe 2.2: Versuch 2.1 mit einer anderen Neigung

Werten Sie nun entsprechend zu Aufgabe 2.1 diesen zweiten Teststreifen aus! Ist die Beschleunigung diesmal größer oder kleiner?

Acceleration2.jpg

(Teststreifen einer Bewegung auf einer anders geneigten schiefen Ebene, Spur (B))



Theorie zur Beschleunigung

Wir haben gesehen, dass ein Wagen, der auf einer schiefen Ebene anfährt, eine Geschwindigkeit hat, die proportional mit der Zeit wächst. Die Funktionsgleichung lautet also:

v(t) = a t

mit der Proportionalitätskonstanten a. Wir nennen a die Beschleunigung (englisch: acceleration).

Es folgt in diesem Fall:

a = \frac{v}{t}

(Bewegung mit konstanten Beschleunigung aus der Ruhe)

Besitzt der Wagen zu Beginn der Bewegung bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v0 , so lautet die Funktionsgleichung

v(t) = v0 + a t

Der Graph ist eine verschobene Ursprungsgerade:

Acceleration4.PNG

(1)\Delta t
(2)\Delta v
(3)v0
(4)t0
Rechtswertachse: Zeit t, Hochwertachse: Geschwindigkeit v

Es ergibt sich für a>0 eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung, für a=0 eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und für a<0 eine Bewegung mit konstanter Verzögerung (fallende Gerade).

Vorsicht: diesmal ist die Formel a = \frac{v}{t} falsch!

Es gilt:

a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

a ist also die Steigung der Geraden.

Definition

Die Beschleunigung a ist die Steigung des t-v-Graphen.

Die Einheit der Beschleunigung ist folglich m/s2.

Aufgabe 2.3: Beschleunigungstest

Ein Testinstitut untersucht die Bewegung eines Fahrzeugs. Die Messwerte sind:

Zeit t in s Geschwindigkeit v in m/s
0 0
5 1
10 2
60 12
80 12
100 12
110 8
120 4
130 0

a) Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm! (10 s = 1 cm , 1 m/s = 1 cm )

b) Geben Sie die Art der Bewegung in den einzelnen Zeitabschnitten an!

c) Ermitteln sie mithilfe der Zeichnung die Beschleunigungswerte!



Die Zeit-Ort-Funktion bei konstanter Beschleunigung

Und nun wollen wir die Früchte der neuen Theorie ernten: Wir können daraus eine Aussage über den zurückgelegten Weg ableiten!

Wie wir früher gesehen haben, ist der zurückgelegte Weg immer die Fläche unter dem Zeit-Geschwindigkeits-Graphen.

Acceleration5.pngRechtswert: Zeit t, Hochwert: Geschwindigkeit v

Wie aus dem Diagramm zu erkennen ist, gilt für die konstante Beschleunigung aus der Ruhe:

x(t) = \frac{1}{2}t v = \frac{1}{2}t (a t) = \frac{1}{2} a t^2

x(t) = \frac{1}{2} a t^2

Interpretation: der zurückgelegte Weg wächst also quadratisch mit der Zeit an. Das heißt zum Beispiel: doppelte Zeit, viermal soviel zurückgelegte Weg!

Der Graph der t-x-Funktion ist also eine Parabel mit der Öffnung \frac{a}{2} !


Aufgabe 2.4 (Fortsetzung von Aufgabe 2.3)

d) Welche Strecke hat das Fahrzeug beim Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurückgelegt? Welche Strecke liegt es zwischen der 60. und der 100. Sekunde zurück? Welche bis zum Ende der Fahrt?

e) Zeichnen sie das t-x-Diagramm!



Aufgabe 2.5: Überprüfen der Formel

Betrachten Sie noch einmal das Messprotokoll von Versuch 2.1, Spur (A)! Berechnen Sie aus dem Ort und der Zeit des 34. Nadelstiches die Beschleunigung a ! Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis von Aufgabe 2.1!



Aufgabe 2.6: Anfahren!

Eine Lokomotive fährt aus dem Stillstand mit der konstanten Beschleunigung a = 0,850 m/s2 an. Nach welcher Zeit hat sie die Geschwindigkeit v = 75,0 km/h erreicht?



Aufgabe 2.7: Von Null auf Hundert

Die Testfahrt eines neuen Motorrads ergab eine Geschwindigkeitszunahme von 0 auf 100 km/h in 3,87 s.

Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung und den bei dieser Beschleunigung in dieser Zeit zurückgelegten Weg!



Aufgabe 2.8: Zugfahrt

Acceleration9.png

Rechtswert: Zeit t in s
Hochwert: Beschleunigung a in m/s2


Ein Zug fährt an. Die Abhängigkeit seiner mittleren Beschleunigung von der Zeit gibt das Diagramm wieder.

  • a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten, die der Zug nach 20 s, 60 s und 80 s hat, und zeichnen Sie das t-v-Diagramm!
  • b) Berechnen Sie mithilfe des t-v-Diagramms den zurückgelegten Weg für die gleichen Zeitpunkte und zeichnen Sie das t-x-Diagramm!



Aufgabe 2.9: Gewehrkugel

Die Kugel eines Gewehrs soll im Lauf gleichmäßig beschleunigt werden.

  • a) Nach welcher Zeit verlässt die Kugel den Lauf ?
  • b) Wie groß ist die Beschleunigung, wenn der 80 cm lange Lauf mit 760 m/s verlassen wird ?



Aufgabe 2.10: Kavaliersstart?

Beim Anfahren eines Wagens nimmt man folgende Meßreihe auf :

Zeit t in s Ort x in m
0 0
1 0,5
2 2
3 4,5
4 8
4,2 8,8
5 12
6 16
7 20
  • a) Mit welchen Weg-Zeit-Funktionen lassen sich die Bewegungen in den Zeitab­schnitten 0 < t < 4 s und 4 s < t < 7 s beschreiben?
  • b) Bestimmen Sie die Beschleunigung und die Momentangeschwindigkeit für jeden Punkt der Tabel­le! Zeichnen Sie das v(t)-Diagramm! Bestimmen Sie daraus mit Hilfe der Fläche den Ort x(6,5 s) zu t = 6,5 s!