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kgV

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Inhaltsverzeichnis

Unterrichtsentwurf

  • Thema der Stunde: Einführung des Begriffs des kleinsten gemeinsamen Vielfachen anhand einer Anwendungsaufgabe.
  • Bundesland: NRW, Jahr 2000
  • Vorgaben des Seminars: Nur 2-3 Seiten theoretische Erläuterungen zum Unterricht (bei den vorherigen Jahrgängen waren es noch kleine Examensarbeiten). Alles Weitere sollte im anschließenden Gespräch geklärt werden.
  • Hintergrund zur Stunde: In der Klasse war ich kontinuierlich im "Bedarfsdeckenden Unterricht" - d.h. ohne Lehrerbegleitung eingesetzt. Die vorliegende Stunde war eine "Unterrichtspraktische Prüfung".
  • Kurios: Mit Murphey's Law sollte man auch in Examensstunden rechnen: Mitten in der Stunde eine Hausmeisterdurchsage: "Wegen einer Feuerwehrübung müssen alle Fahrräder vor dem Gebäude entfernt werden" - die SchülerInnen schauten mich fragend an, ich stimmte zu, dass sie gehen können und schon war die Klasse zur Hälfte leer. Zur Beruhigung: Die Prüfungskomission möchte auch sehen, wie ihr mit solchen Situationen umgehen könnt.
  • Noch eine Bemerkung: Im Zuge der Diskussion um die Sinnhaftigkeit einer rechnerischen Lösung (die jedem Busfahrer mit Praxiserfahrung schwachsinnig vorkommen muss) driftete das Thema zum Unendlichkeitsbegriff ab (S: "Geht das immer so weiter?" - S: "Ja, unendlich..."), was dem Fachleiter sehr gefiel (und mir erst recht, weil ich wusste, dass es dem Fachleiter gefiel). Zumindest bei meinem Fachleiter sollte abweichend von der Planung Raum für solche Exkurse in der Stunde sein, vor allem, wenn sie von den Schülern angeregt wurden.

Curricularer Bezug der Unterrichtsreihe und der Stunde

Die Unterrichtsreihe „Teilbarkeit“ ist in dem Lehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufe 5/6 vorgesehen. Als obligatorisch gelten in diesem Zusammenhang die Thematisierung von Teilern und Vielfachen, Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung sowie dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) [vgl. LPMA: 37ff].

Thema der Stunde und seine Einordnung in die Unterrichtsreihe

Unterrichtsreihe Teilbarkeit

  • Wiederholung und Vertiefung der Begriffe Teiler und Vielfache sowie Teilermenge und Vielfachenmenge
  • Einführung des Begriffs „Primzahl“
  • Das Sieb des Eratosthenes als effektive Möglichkeit zur Bestimmung von Primzahlen
  • Primfaktorzerlegung und Bestimmung der Teilermenge mit Hilfe der PFZ
  • Teilbarkeitsregeln (Endstellenregeln und Quersummenregeln)
  • Einführung des Begriffs des größten gemeinsamen Teilers anhand einer Anwendungsaufgabe (Wiederholung: Mengendarstellung im Venn-Diagramm)
  • Untersuchungen zum Zusammenhang zwischen Teilerfremdheit und der PFZ
  • Einführung des Begriffs des kleinsten gemeinsamen Vielfachen anhand einer Anwendungsaufgabe
  • Bestimmung des ggT und des kgV mit Hilfe der Primfaktorzerlegung
  • Exkurs: Teilbarkeit und Algorithmik – der Euklidische Algorithmus

Fachliche Überlegungen und ihre Konsequenzen für den Unterricht

Das kgV wird im fortgeschrittenen Verlauf der Unterrichtsreihe „Teilbarkeit“ behandelt. Um es adäquat einsetzen zu können, muss eine sinnvolle Bestimmungsmethode erarbeitet werden. Diese kann sich auf den Vergleich von Vielfachenmengen (kleinstes Element der Schnittmenge), auf den Einsatz der Primfaktorzerlegung oder einer algorithmischen Vorgehensweise (Anwendung des Euklidischen Algorithmus, systematisches Probieren) stützen. Aufgrund gewisser Analogien zum ggT ist es möglich, einen hohen Grad an Selbständigkeit bei den Überlegungen von Bestimmungsmethoden von den Schülerinnen und Schülern einzufordern. Die Untersuchung von gemeinsamen Vielfachen wurde im Unterricht noch nicht durchgeführt. Auch der Begriff des „kleinsten gemeinsamen Vielfachen“ ist den Schülerinnen und Schülern unbekannt. Die Verfahrensweisen zur Bestimmung des kgV können ohne größere Schwierigkeiten an die vorhandene kognitive Struktur der Schülerinnen und Schüler angeknüpft werden [vgl. ZECH 1995:29]: Die zur Erarbeitung des neuen Sachverhaltes benötigten bzw. nützlichen Begriffe Teiler, Vielfaches, Teilermenge, Vielfachenmenge, gemeinsamer Teiler, ggT, Menge, Schnittmenge, Primzahl und Primfaktorzerlegung (auch in Potenzschreibweise) sind den Schülerinnen und Schülern geläufig. Sie werden daher als Ausgangsbasis im Unterricht verwendet.

Didaktische Schwerpunkte – Überlegungen zur Stunde

Lehr- und Lernvoraussetzungen

In der Lerngruppe Klasse 6* unterrichte ich im Rahmen des bedarfsdeckenden Unterrichts seit Sommer **** . Die Schülerinnen und Schüler sind es nicht gewohnt, an beobachtetem Mathematikunterricht teilzunehmen. Daher kann durch die Anwesenheit der Prüfungskommission möglicherweise eine „angespannte“ Atmosphäre in der Klasse entstehen .

Die Lerngruppe 6* ist bezüglich der Leistungsstärke überwiegend als heterogen zu bezeichnen. Dennoch beteiligen sich nahezu alle Schülerinnen und Schüler ohne besondere Aufforderung am Unterricht. Herausragende Ideen zum Unterricht werden häufig von acht Mädchen und vier Jungen beigesteuert. Diese leistungsstarke Schülergruppe wird immer wieder dazu angehalten, ihre Gedanken zu erläutern, damit ihre Mitschüler ihre Denk- und Vorgehensweisen verstehen können. Einige Schülerinnen und Schüler benötigen mehr Zeit, um einen mathematischen Sachverhalt umsetzen zu können. Diese schließen bei den Übungen, Wiederholungen und den Hausaufgaben zu den mathematisch leistungsstärkeren auf. Zwei Jungen wiederholen die 6. Klasse. Sie kennen zwar bereits die Thematik, die Details der Begründungszusammenhänge sind ihnen jedoch nicht mehr vertraut. (...)

Beim Mathematikunterricht in der Orientierungsstufe muss die Entwicklungsstufe der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt werden. So muss die Sprachwahl im Unterricht, bei Aufgaben und bei Regelformulierungen ihren noch eingeschränkten sprachlichen Fähigkeiten angepasst sein. Trotzdem lasse ich zum Ausdrücken mathematischer Zusammenhänge nach Möglichkeit die Fachtermini verwenden. Dabei ist in begrenzter Weise eine „Arbeitssprache“ während der Erläuterungen von Schülern zulässig, um die Kommunikation im Verlauf des Unterrichtsgesprächs nicht zu hemmen und keine Frustration durch ständige Korrektur der Ausdrucksweise hervorzurufen [vgl. dazu auch LPMA:38 oder STAMPE 1984:98]. Viele Schülerinnen und Schüler befinden sich in einer Entwicklungsstufe, in der das Abstraktionsvermögen noch sehr eingeschränkt ist. Gerade abstrakte Begriffe bereiten ihnen Schwierigkeiten. Aus diesem Grund lasse ich während des Unterrichts häufig die Erläuterung abstrakter mathematischer Begrifflichkeiten über konkret anschauliche Beispiele zu. Der zugehörige mathematische „Kern“ wird in der Regel dennoch verstanden [vgl. dazu ZECH 1996: 258]. Der Zeitaufwand, den die Schülerinnen und Schüler dieser Altersstufe zum Schreiben als auch zum Rechnen benötigen, differiert stark. Aufgrund dieser Tatsache muss gerade bei der schriftlichen Formulierung von neuen Begriffen ein hinreichendes Zeitbudget für die Abschrift des Tafelbildes eingeräumt werden. In der heutigen Stunde schließt die Übungsphase an diese „Phase der Abschrift“ an. Dies bietet sich an, damit die schnellschreibenden Schülerinnen und Schüler nicht untätig warten müssen.

Didaktisch-methodische Entscheidungen

Der geplante Verlauf der Stunde lässt sich grob in drei Teile gliedern: ? Problemlösung: Lösen einer Anwendungsaufgabe ? Erarbeitung und Sicherung des mathematischen Hintergrundes ? Übung des Gelernten.

Somit wird auf Grundlage des „Speziellen“ (der Problemstellung einer Sachaufgabe) das „Allgemeine“ (der abstrakte mathematische Begriff) erschlossen. Die Entscheidung, das kgV über diese Anwendungsaufgabe einzuführen, habe ich getroffen, um so in besonderem Maße Motivation aufzubauen. Neben dem allgemeinen „Wunsch nach Wissen und Verstehen“ gilt auch der Nutzen des mathematischen Inhalts zum Lösen von Problemen aus der „Lebenswelt“ der Schülerinnen und Schüler als ein wichtiger Motivationsfaktor [s. ZECH 1996: 186ff].

Das Szenario der Sachsituation - die „gleichzeitig eintreffenden Busse“ - wurde daher bewusst ausgewählt, um im Unterricht an die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler anknüpfen zu können. Sicherlich ist jeder von ihnen bereits mit öffentlichen Verkehrsmitteln gefahren.

Die Problemstellung der Sachsituation soll mathematisiert werden, um auf diese Weise zu einer Problemlösung zu gelangen. Mit der Suche nach einem Lösungsansatz zur Aufgabe soll sich nach Möglichkeit jede Schülerin und jeder Schüler beschäftigen. Die Problemstellung ist so gewählt, dass der Ansatz einer Lösungsstrategie leicht entwickelt werden kann [vgl. fachliche Überlegungen: eingeführte Begriffe; Lernvoraussetzungen]. Daher erfolgt die gemeinsame Diskussion einer Lösungsmöglichkeit erst nach einer Phase der Einzel- bzw. Partnerarbeit . Ein möglicher Lösungsweg wird von einer Schülerin oder einem Schüler an die linke Tafelseite angeschrieben. Die simple Rechnung (Vergleich der Vielfachen(-mengen)) verdeutlicht folgende Tatsache: Statt eines zeitaufwendigen „Experiments“ ist die Problemlösung mit Hilfe der Mathematik innerhalb kurzer Zeit gefunden . Diese Gegebenheit soll kurz in der Klasse thematisiert und diskutiert werden. Die Diskussion wird genutzt, um in die Phase der Ausarbeitung und Sicherung des „mathematischen Kerns“ überzuleiten.

In diesem Fall besteht wegen der Analogie zum ggT die Möglichkeit, dass die Schülerinnen und Schüler nahezu selbständig die Begriffsbildung erarbeiten. In dieser Phase wird daher – abhängig von der noch verfügbaren Zeit – viel Wert auf einen hohen Erarbeitungsanteil der Schülerinnen und Schüler bei der Formulierung des Begriffs und eines Beispiels gelegt.

Die Begriffsdefinitionen „kgV“ und „gemeinsamer Teiler“ werden an der rechten Tafelseite fixiert. Somit ist eine bewusst getrennte Benutzung der Tafelseiten erfolgt: das Spezielle (die Gedanken und Rechnungen zur Anwendungsaufgabe) auf der linken und das Allgemeine (die Begriffe) auf der rechten Seite. Die erarbeitete Definition bzw. Beschreibung der Begriffe soll in die Mathematikhefte übertragen werden. Während die Schüler abschreiben, wird das Arbeitsblatt verteilt. Die Aufgaben des Arbeitsblattes weisen in ihrer Reihenfolge einen progressiv steigenden Anspruch an das mathematische Denken auf: Zunächst wird das neu Gelernte „stabilisierend eingeübt“ [vgl. ZECH 1996:208ff], im weiteren Verlauf werden dann auch neue Aspekte der Thematik behandelt. Ergänzende didaktisch relevante Anmerkungen zum Arbeitsblatt befinden sich auf der Musterlösung in der Anlage (Seite 10).

Der Verlauf der Übungsphase kann je nach verfügbarer Zeit variieren. Der Zeitpunkt für den Abschluss des ersten Unterrichtsabschnitts ist im Vorfeld nicht abzusehen. Die Bearbeitung des Arbeitsblattes wird voraussichtlich im Unterricht begonnen. Sie kann jedoch auch als Hausaufgabe erfolgen (Flexible Ausstiegsmöglichkeiten). Es ist nicht geplant, die Lösungen des Arbeitsblattes und die dabei erarbeiteten thematisch neuen Aspekte bereits in der Stunde zu besprechen. Dies wird in der folgenden Unterrichtsstunde geschehen.

Ziel der Stunde

Die Schülerinnen und Schüler sollen in die Thematik des „kleinsten gemeinsamen Vielfachen“ eingeführt werden. Sie sollen insbesondere ...

... die Übertragung von Sachverhalten auf ein mathematisches Modell umsetzen.

... die speziellen Ergebnisse der Textaufgabe interpretieren können.

... den Sinn einer mathematischen Rechnung im Gegensatz zum Experiment erkennen und ihn erläutern können.

... das „Spezielle“ (einführende Textaufgabe) in das „Allgemeine“ (abstrakte und formale Begrifflichkeit kgV) überführen können.

... die Begrifflichkeit des kgV und des gemeinsamen Vielfachen kennen lernen.

... das kgV zweier Zahlen bestimmen und den neuen Begriff anwenden können.

Verlaufsplan

Phase geplanter Verlauf Medien / Methode
Einstimmung auf das Aufgabenszenario - „Wer fährt mit dem Bus?“ (Anknüpfung an die Lebenswelt der S.) (zusätzliches Ziel: Herstellung einer gelockerten Atmosphäre) - kurzes auflockerndes Unterrichtsgespräch (UG)
Einstieg in die

Problemstellung

- L. legt Aufgabenstellung vor

- Besprechen der Aufgabenstellung (Nr. 1) - S. suchen Lösungsansätze in Einzel- bzw. Partnerarbeit (ca. 3-5’) ? Folie

kurzes UG – dann Einzel- bzw. Partnerarbeit
Erarbeitung

der Sachaufgabe

Problemlösung - S. stellt Lösungsweg an der Tafel (ggf. auch Folie)

a) Schriftliche Rechnung mit Erläuterung [Die äußere Form der Rechnung in diesem Moment nicht im Mittelpunkt! Erwartet: Zahlenreihe oder Venn- -Diagramm] b) Ermittlung der Lösung [Erwartet: Kritik an der Sachsituation – z.B. Kommen die Busse pünktlich?] c) Antwort fixieren und interpretieren - L. legt weitere Aufgabe (Nr. 2) vor. - Gemeinsame Erarbeitung der Lösung

  • linke Tafelseite

(Erarbeitungsseite) (weiße und bunte Kreide)

  • „Schülervortrag“ / -Unterrichtsgespräch

(Lehrerlenkung falls notwendig)

Überleitung zur nächsten Phase

Zäsur : L: Worin liegt der Vorteil, die Lösung rechnerisch zu bestimmen – Warum kein Experiment?

Unterrichtsgespräch

Ausarbeitung und Sicherung des mathematischen Kerns

- Die S. sollen den mathematisch formalen Kern der Anwendungsaufgabe erkennen und ggf. benennen: - Gesucht sind die „gemeinsamen Vielfachen“ bzw. „das kleinste gemeinsame Vielfache“ - Begriffsbildung und Sicherung des Begriffs an der Tafel - Im Laufe dieser Phase sollte auch der folgende Aspekt thematisiert werden: Es gibt nur ein kleinstes (gemeinsames) Vielfaches. (Es kann kein größtes gemeinsames Vielfaches geben ? Begründung!)

Tafel bzw. Heft

? Fragend-entwickelnder Unterricht / Einzelarbeit beim Abschreiben

Übung

- Arbeitsblatt mit Aufgaben zur Bestimmung des kgV ? Arbeitsblatt

  • Einzel- oder Partnerarbeit
Hausaufgabe Aufgaben vom Arbeitsblatt

Voraussichtliches Tafelbild

Lösungsweg zur Aufgabe 
„Gleichzeitiges Eintreffen der Busse“:

[Mögliche Schülerlösung (*) ]
A: 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; 102? 
B: 14 ; 28 ; 42 ; 56 ; 70 ; 84 ; 98 ; 112 ; ?
Antwort 1: Es kommen nach 84 min wieder zwei Busse gleichzeitig an.
(ggf. nur mündlich)    
V12 ? V14 = {84; 168; 252; ...}
Antwort 2: Es kommen alle 84 min Busse gleichzeitig an.
Das „kleinste gemeinsame Vielfache“
Begriff: Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen a und b gibt es ein kleinstes.
Man nennt es das „kleinste gemeinsame Vielfache“ von a und b.
Kurzschreibweise: 	kgV (a ; b) = __
			kgV (4 ; 6) = 12
Beispiel: 
V4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40 ...}
V6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; ...}
            kgV(4 ; 6) = 12
gemeinsame Vielfache: 
           V4 ? V6 = {12; 24; 36; 48; 60; ...}

(*) Eine äußere Form des Tafelbildes ist insbesondere an der linken Tafelseite nicht vorhersehbar. Hier lasse ich den Schülerinnen und Schülern bewusst große Freiheit. Falls keine Fehler an der Tafel sind, ist die äußere Form des Lösungsweges hier eher unwichtig (der Lösungsweg dient zur Erarbeitung der rechten Tafelseite).

Literatur

  • KUYPERS, W., H.W. LAUTER & H. WUTTKE (HRSG.): Mathematik 6. Schuljahr – Cornelsen Verlag. Berlin 1997 (Eingeführtes Lehrbuch)
  • LP MA: MINISTERIUM FÜR SCHULE UND WEITERBILDUNG, WISSENSCHAFT UND FORSCHUNG DES LANDES NORDRHEIN WESTFALEN (HRSG.): Richtlinien und Lehrpläne für das Gymnasium - Sekundarstufe I – in Nordrhein Westfalen – Mathematik. Frechen 1993
  • POHLMANN, D. & W. STOYE: Mathematik plus. Berlin 2000
  • STAMPE, E.: Repetitorium Fachdidaktik Mathematik. Bad Heilbronn 1984
  • ZECH, F.: Grundkurs Mathematikdidaktik – Theoretische und praktische Anleitung für das Lehren und Lernen von Mathematik. Weinheim und Basel 19968. völlig überarbeitete Auflage
  • ZECH, F.: Mathematik erklären und verstehen. Berlin 1995
  • Lambacher Schweizer – Mathematik 6; Arbeitsheft Mathematik Band 2; „Matherialien“ – Handbuch für Lehrerinnen und Lehrer

Aufgabe

Greta und Martin sitzen in einem Bushäuschen und beobachten den Verkehr. Plötzlich fällt ihnen etwas Interessantes auf: Zwei Busse treffen gleichzeitig ein. Der eine hält an ihrer Bushaltestelle und der andere an der gegenüberliegenden Haltestelle. Martin startet seine Stoppuhr und misst die Zeit: „Mal sehen, wie lange es dauert, bis wieder zwei Busse gleichzeitig eintreffen.“ Greta liest den Fahrplan: An ihrem Bushäuschen A trifft alle 12 Minuten ein Bus ein und an der anderen Haltestelle B trifft alle 14 Minuten ein Bus ein.

  • Frage 1: Wie viele Minuten dauert es, bis wieder beide Busse gleichzeitig eintreffen?
  • Frage 2: Wie lange müssen Greta und Martin warten, bis danach noch einmal zwei Busse gleichzeitig eintreffen?
  • Frage 3: Wieso ist es günstig, diese Aufgabe rechnerisch zu lösen – wieso wartet man nicht einfach an dem Bushäuschen, wie es Martin vorhatte?

Übungen zur Bestimmung des kgV

Aufgabe 1:

Bestimme das kgV zweier Zahlen, indem du die Vielfachenmengen vergleichst. Bestimme dann die Menge der gemeinsamen Vielfachen.

a) 	V6 = {										}
V8 = {										}
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8 ist also:  kgV ( 6 ; 8 ) = ____
Gemeinsame Vielfache von 6 und 8 sind: V6 ? V8 = {					}

b) 	V12 = {										}
V15 = {										}
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 15 ist also: kgV ( 12 ; 15 ) = ____
Gemeinsame Vielfache von 12 und 15 sind: V6 ? V8 = {					}  

Aufgabe 2: (Nebenrechnungen ins Heft!)

a) Fülle die folgende Tabelle aus. 
Beispiel: 
Es gilt kgV (2 ; 9) = 18. 
Trage daher an der entsprechende Stelle in der Tabelle eine 18 ein.
kgV ( __ ; __ )	8	9	13	20
2		kgV ( 2 ; 9 ) =18		
5				
10				
Nutze die ausgefüllte Tabelle zur Lösung der folgenden Aufgabenteile!
b) Wann ist das kgV von zwei Zahlen die größere Zahl? (Lösung ins Heft!)
c) Wann ist das kgV von zwei Zahlen das Produkt der beiden Zahlen? 
   Kurz gesagt: Wann gilt  kgV (a ; b) = a · b   ? 
   (Tipp: Schau dir für diesen Fall den ggT (a ; b) an!)

Aufgabe 3:

Suche im Kopf die kleinste Zahl, die die folgenden Teiler enthält.

a)	6 und 10  ? Die kleinste Zahl, die 6 und 10 als Teiler enthält ist: ____
b)	5 und 15  ? Die kleinste Zahl, die 5 und 15 als Teiler enthält ist: ____  

Aufgabe 4: „Mathematikforscher-Aufgabe“

Denke dir zwei Zahlen a und b aus (z.B. 12 und 15). Bestimme das kgV(a ; b).

Zerlege nun jeweils a und b in Primfaktoren (PFZ). Dann zerlege auch das gefundene kgV in Primfaktoren.

Vergleiche die PFZ der Zahlen und des kgV miteinander. Was fällt dir auf? Stelle eine Vermutung auf, wie man das kgV aus der PFZ zweier Zahlen bestimmen kann!

Prüfe deine Vermutung auch an anderen Zahlen. Stimmt sie?

Siehe auch