Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>


Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich der Wurzelfunktionen grundsätzlich nur auf positive reelle Zahlen ein, d.h.
Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich nur auf positive reelle Zahlen ein, d.h.


<math>f(x) = \sqrt[n]{x}  mit n \in \mathbb{N} und \mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>
<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>

Version vom 19. Januar 2009, 15:25 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .

Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2

  • Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
  • Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?

Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Potenzen und Wurzeln

Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion

Beispiele:

  • , aber
  • , nicht definiert.
  • , aber auch


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Der Definitionsbereich

Offenbar kann man zum Beispiel wegen

die Wurzelfunktionen zumindest bei ungradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:

Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich nur auf positive reelle Zahlen ein, d.h.

mit und