Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}.</math>
Wir betrachten hier Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}.</math>


Da <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> ist, nennt man diese speziellen Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich <math>D</math> ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - in der Regel (näheres siehe unten) positiv, also D = IR<sup>+</sup>.
Da <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> ist, nennt man diese speziellen Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - in der Regel (näheres siehe unten) nicht negativ, also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>


Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:

Version vom 11. Februar 2009, 13:42 Uhr

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Funkztionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen der Bauart mit

Da ist, nennt man diese speziellen Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - in der Regel (näheres siehe unten) nicht negativ, also ID = IR+0

Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:


Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .


Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:

Die mathematisch richtige Lösung ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.


Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:

Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+

Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

.

Dann gilt: IDg = IR.