Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Grundidee vom Signifikanztest

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Letztes Jahr hat Anna bei der Schulsprecherwahl 40% der Stimmen erhalten. Vor der nächsten Wahl interessiert sie sich, ob sie dieses Jahr ihr Stimmenanteil zu letztem Jahr verbessern kann. Dafür führt sie ein Signifikanztest durch. Sie befragt 100 Schüler*innen. Für den Test legt sie ein Signifikanzniveau von 5% fest.

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungregel.
b) Anna bekommt raus, dass 50 Schüler*innen aus der Stichprobe vorhaben, sie als Schulsprecherin zu wählen. Beschreibe wie Anna dieses Ergebnis interpretiren kann.
c) Ihr tatsächlicher Stimmenanteil beträgt allerdings nur 32%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese fälchschlicherweise abgelehnt wird. Um welchen Fehler handelt es sich?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verworfen, wenn sie tatsächlich 45% wählen. Um welchen Fehler handelt es sich?

a) 1. Schritt: $H_0:p\leq0,4$ und $H_1:p>0,4$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die Anna wählen. X ist im Grenzfall $B_{100;0,4}- verteilt$
4. Schritt: $P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle kr-1=48 => kr=49
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {49...100}liegt.Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...48}.
b) Sie kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass sich ihr Stimmenanteil im Vergleich zu letzten Jahr verbessern wird.
c) Es handelt sich um einen Fehler 1 Art. Eine richtige Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen.
Berechnung:X ist $B_{100;0,32}- verteilt,$ $P(X\geq 49)=1-P(X\leq48)=1-0,9997=0,0003$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03% wird bei einem wahren Stimmenanteil von 32% die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.
d) Es handelt sich um einen Fehler 2. Art. Eine falsche Nullhypothese wird fälschlicherweise nicht verworfen.
Berechnung: X ist $B_{100;0,45}-verteilt$, $P(X\leq48)=0,7596$.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75,96% wird die falsche Nullhypothese, bei dem tatsächlichen Stimmenanteil von 45% fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartpohnehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 5% weniger fehlerhaft sind. In einem linksseitigen Test soll diese Aussage überprüft werden. Es werden 100 Smartphones überpürft und das Signifikanzniveau $\alpha$ wird auf 5% festgelegt.
a) Bestimme die Entscheidungsregel für den Test.
b) Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art und Fehler 2. Art besteht.

a) 1. Schritt:$H_0:p\geq0,05$ und $H_1:p<0,05$2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist im Grenzfall $B_{100,0.05}$- verteilt.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=1.
Annahmebereich: {2, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,1}.
b) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich mindestens 5% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones gesunken ist.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 5% der hergestellten Smartphones defekt, die Nullhypothese $H_0$ wird aber fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

Ein Schüler behauptet, dass er mindestens 950 von 1000 Vokablen kann. Sein Lehrer glaubt ihm nicht. Er denkt, dass sein Schüler eindeutig weniger Vokabeln kann. Daher fragt der Lehrer seinen Schüler 40 Vokabeln ab.
a) Warum fragt der Lehrer ihn nicht alle 1000 Vokabeln ab?
b) Wie viele Vokabeln müsste der Schüler von den 40 Vokabeln mindestens richtig beantworten, damit sein Lehrer nicht das Gegenteil behaupten kann. Führe einen passenden Signifkanztest aus Sicht des Lehrers durch. Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.
c) Beschreibe worin der Fehler 1. Art und Fehler 2. Art besteht.

a) Die Überpürfung der 1000 Vokablen würde zu lange dauern.
b) 1. Schritt:$H_0: p\geq0,95$ und $H_1:p<0,95$
2. Schritt: n=40 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Vokabeln, die der Schüler gewusst hat. X ist im Grenzfall $B_{40;0,95}- verteilt$.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=35.
Annahmebereich: {36, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,..,35}.
c) Bei dem Fehler 1. Art weiß der Schüler tatsächlich 95% oder mehr der Vokabeln, er kann allerdings im Test nur höchstens 35 Vokabeln richtig beantworten, daher wird die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.
Beim Fehler 2. Art weiß der Schüler weniger als 95% der Vokabeln, er kann aber im Test mehr als 36 richtig beantworten. Daher wird die falsche Nullhypothese fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 3

Arthur behauptet, dass wenn er Fremden zulächelt 50% zurück lächeln. Jonas, ein Freund von Arthur, fragt sich, ob das stimmt. Deshalb wollen sie ein Signifikanztest durchführen. Arthur soll 1000 Menschen anlächeln. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5 % fest.
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel
b) Von den 1000 Menschen haben 531 zurückgelächelt. Arthur behauptet, dass somit bewiesen ist das seine Aussage wahr ist. Nimm zu dieser Aussage Stellung.

a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die zurückgelächelt haben. X ist $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq kr)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.
Annahmebereich: {469,...531}.
Verwerfungsbereich: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.
b) 531 liegt zwar im Annahmebereich. Aber über Ergebnisse die im Annahmebereich liegen, kann keine Aussage getroffen werden. Arthur kann durch den Test nicht zeigen, dass der Wert 50% gilt.