Wahrhaftigkeit und Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisumfang: Unterschied zwischen den Seiten

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Dieser Lernpfad ist konzipiert als für Lernende gedachtes Begleitmaterial zu einem Artikel in ru-heute 1/2020.
{{Box|Info|Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.|Kurzinfo
==Schnelle Technik - Langsame Reflexion==
}}
Die Technik entwickelt sich schnell, und wir lernen schnell, sie zu nutzen und in unseren Alltag zu integrieren. Mit PCs, Laptops, Tablets und Smartphones, mit word, google, twitter, instagram und netflix gehen wir inzwischen selbstverständlich um, als sei es nie anders gewesen. Aber das Bewusstsein, die Reflektion kommt so schnell nicht hinterher, sagt der Sozialforscher Dirk Baecker.
{{Box|Aufgabe|
Geben Sie sich Rechenschaft über Ihre Mediennutzung
|Üben}}


{{LearningApp|app=p7c7bbvxc19|width=100%|height=400px}}
==<span class="brainy hdg-magnifying-glass fa-1x"></span> Erste Erkundungen==
<span style="color: #6A93B0"> Jannis </span> und <span style="color: orange"> Paula </span> überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.


{{Box|Recherche|
[[Datei:Kreisumfang_Annaeherung.png|500x500px]]{{Box|Aufgabe 1|Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft unter der Überschrift <i>"1 Umfang und Flächeninhalt eines Kreises - 1.1 Umfang eines Kreises"</i>. Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit <u>beiden</u> Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.|Übung
Sehen Sie sich eine [https://de.statista.com/infografik/19259/dauer-der-taeglichen-mediennutzung/ Statistik zur täglichen Mediennutzung] an und bewerten Sie den Befund.  
}}Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.<div class="multiplechoice-quiz">
|Arbeitsmethode}}
Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)


{{Box|Frage|
Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser)  (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)
Welche Interessen vermuten Sie hinter den Angeboten in Radio, Fernsehen und Netzwerken, vor allem, wenn Sie umsonst angeboten werden?
</div>
|Frage}}


{{Box|Nachdenken|
==<span class="brainy hdg-lab-flask01 fa-1x"></span>. Forscherauftrag==
Sehen Sie sich die [https://schleeh.de/2013/05/02/wenn-du-nichts-bezahlen-musst-bist-du-das-produkt/ Karikatur] von Hannes Schleeh an und beurteilen Sie, ob an dem Vergleich zwischen dem Schwein und dem Nutzer moderner Medien etwas dran ist.  
[[Datei:Kreise_Gegenstand.jpg|250x250px|Kreisförmige Gegenstände im Alltag]]
|Meinung}}


==Automatisierte Datennutzung==
Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir <u>mindestens fünf</u> kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).
Aus [https://de.statista.com/statistik/daten/studie/267974/umfrage/prognose-zum-weltweit-generierten-datenvolumen/ Expertenschätzungen] wissen wir, wieviele Daten im Internet gespeichert sind: 33 Zettabyte, anders ausgedrückt 3,3 * 10^25 Zeichen. Etwa vier Milliarden (4 * 10^9) Menschen nutzen das Netz.  


{{Box|Berechnung|
Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle in deinem Heft unter der Überschrift fest.
Rechnen Sie aus, wie viele Daten pro Nutzer das Internet vorhält.
{| class="wikitable"
Auf eine Seite gehen ungefähr 2 * 10^3 Zeichen.  
!<span style="color: #6A93B0"> Gegenstand </span>
Wievielen Seiten entspricht die Datenmenge pro Nutzer.
!<span style="color: #35682D"> Durchmesser d (in cm)</span>
|Frage}}
!<span style="color: #A18594"> Umfang U (in cm)</span>
|-
|...
|...
|...
|}
{{Box|Erkundung|Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?
Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.|Unterrichtsidee
}}{{Lösung versteckt|Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser <math>\frac{U}{d}</math> an und ergänzt ihre Tabelle.
[[Datei:Beispiellösung Erkundung1.png|300px]]
Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.|Tipps anzeigen|Tipps verbergen}}Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [https://www.geogebra.org/m/vy4TJ2rU].<ggb_applet id="vy4TJ2rU" width="750" height="500" />


Daten diskriminieren, sagt der Soziologe Dirk Baecker.  
==Der Kreisumfang==
{{Box|Merke|Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl <math>\pi\approx 3,14</math> das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius <math>r</math> und dem Durchmesser <math>d=2r </math> gilt
<blockquote><math>U= d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi  </math>.</blockquote>
Ergänze deinen Hefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.|Merksatz
}}


{{Box|Beispiel|
==<span class="brainy hdg-star fa-1x"></span> Die Kreiszahl π== 
Eine Zeugnisnote sagt etwas darüber aus, wieviele Punkte Sie bei verschiedenen Tests gemacht haben. Was noch?
Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d ist immer gleich.
Sie sagt nichts darüber, ob das Fach Sie interessiert oder ob Sie nur um der Note willen für den Test gelernt haben.
Welche für Sie wichtigen Dinge über die Schule verschweigt die Note noch?
|Hervorhebung}}


==Glauben und Wissen==
Dieses Verhältnis wird '''Kreiszahl π''' genannt.  = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie. π ist also kein Element der rationalen Zahlen.


{{Box|Definition|
Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden, schaus' dir an:
Im Religionsunterricht sollten Sie dem Begriff "Glauben" schon begegnet sein. Sehr verbreitet ist die Gegenüberstellung Glauben - Wissen. Dabei bedeutet Wissen eine Information, die methodisch, systematisch gewonnen wurde, etwa in der Wissenschaft durch Experimente und Beobachtungen oder im Journalismus durch Recherche und Überprüfung. Glauben hingegen beruht auf dem persönlichen Vertrauen. So glauben Liebende einander ihre Liebe. Im Christentum können gundlegende "Wahrheiten" wie die Auferstehung Jesu Christi nicht objektiv überprüft werden, sondern wir müssen den Zeugen glauben.
{{#ev:youtube|KIZOpIcBEnI|800|center}}
|Merksatz}}


Der Bereich des Glaubens, wo es um Liebe, Zorn, Vergebung, religiöse Gemeinschaft und dergleichen geht, und der Bereich des Wissens, wo es um Nachrichten und wissenschaftlichen Entdeckungen geht, sind durch Netzwerke wie facebook und twitter, durch Kundenkarten, Kreditkarten und andere Datenquellen etwas durcheinandergeraten.


{{Box|Anekdote|
Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:
Die New York Times berichtete 2012 über einen Teenager, der von der Supermarktkette ''Target'' Rabattcoupons für Babykleidung bekam, weil plötzliche Veränderungen im Einkaufsverhalten der Sechzehnjährigen darauf schließen ließen, dass sie schwanger sei. Das traf auch zu, war aber in ihrem Umfeld noch nicht bekannt und sorgte für erhebliche Unruhe. Was wir normalerweise zuerst vertrauten Mitmenschen offenbaren und was die anderen nichts angeht, wird also durch Algorithmen von Ferne kontrolliert und für unterschiedliche Geschäftsmodelle genauestens ausgewertet.


Sagen Sie Ihre Meinung zu dem geschilderten Fall.
*eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
|Meinung}}
*Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
*mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
*Mittlerweile (2021) von Schweizer Forschern auf ca. 62,8 Billionen Dezimalstellen berechnet
*beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:


==Aphorismen==
π =  = 3,14159...


{{Box|Aufgabe|
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Suchen Sie sich ein oder zwei der folgenden Zitate aus.
Machen Sie sich die Bedeutung der Aussagen am Beispiel klar.
|Üben}}


*Dirk Baecker: ''Vor unserem Bildschirm beherrschen wir alle körperlich eine Technik, von der wir mental noch nicht wissen, was sie mit uns anstellt.''
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
[[Datei:Taschenrechner pi.png|mini|alternativtext=|ohne|281x281px]]


*Katharina Nocun: ''Nutzt euer Auskunftsrecht, - Es ist super spannend, ihr bekommt sehr viel Post, und ihr findet sehr viel über euch heraus, was ihr niemals wissen wolltet.''
==<span class="brainy hdg-ruler-compasses fa-2x"></span> Übungen== 
 
{{Box|Aufgabe 2|Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.  
*Peter Ustinov: ''Jetzt sind die guten alten Zeiten, nach denen wir uns in zehn Jahren zurücksehnen.''
# Der Radius des Kreises beträgt <math>r=3</math>cm.
 
# Der Radius des Kreises beträgt <math>r=5</math>mm.
*Monika Schwarz Friesel: ''Sie glauben, ohne zu wissen. Sie 'wissen', weil sie glauben. Sie glauben, weil sie fühlen. So ist der Hass der Ursprung ihrer abstrakten Denkprozesse.''
# Der Radius des Kreises beträgt <math>d=12</math>cm.
 
# Der Radius des Kreises beträgt <math>d=8</math>m.|Übung
*Amélie Nothomb: ''Jeder erzählt die Geschichte, die er aushält.''
}}{{Lösung versteckt|Lösungen:
 
# <math>U=2\cdot 3cm \cdot \pi \approx 18,85cm</math>
==Wissensgesellschaft==
# <math>U=2\cdot 5mm \cdot \pi \approx 31,42mm</math>
 
# <math>U=12cm \cdot \pi \approx 37,7cm</math>
{{Box|Definition|
# <math>U=8m \cdot \pi \approx 25,13cm</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Box|Aufgabe 3|Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.  
Der Begriff „Wissensgesellschaft“ (''knowledgeable society'') wurde von dem Politologen Robert Lane bereits 1966 geprägt und 1973 von dem Soziologen Daniel Bell als Bezeichnung für die Formation der „postindustriellen Gesellschaft“ populär gemacht. Darin drückt sich die gut belegbare Diagnose aus, dass die Produktion von Waren zukünftig einen geringeren Anteil an Wertschöpfung und Arbeitsvolumen haben wird als die Beschäftigung mit kognitiven Inhalten.
''Hinweis'': 1 Zoll entspricht 2,54cm|Übung
|Merksatz}}
}}{{Lösung versteckt|Der Raddurchmesser beträgt 26 Zoll und damit 66,04 cm. Es gilt
 
<math> U= 66,04 cm \cdot \pi \approx 207,47 cm </math>.  
{{Box|Aufgabe|
Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|weiter=Die Kreisfläche erkunden|weiterlink=Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisfläche}}
Stelle Berufe, in denen etwas Materielles produziert wird, Berufen gegenüber, die ausschließlich mit Wissen arbeiten.
Urteile, auf welcher Seite der Unterscheidung sich die attraktiveren, einträglicheren, angeseheneren und zukunftsträchtigeren Berufe befinden.
|Üben}}
 
==Bleibende Versuchung Narzissmus==
==Aufruf zur Wahrhaftigkeit==
==Fazit==
 
[[Kategorie: Religion]]
[[Kategorie: Lernpfad]]
[[Kategorie: Sekundarstufe 2]]

Version vom 18. Juni 2022, 09:51 Uhr

Info
Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.

Erste Erkundungen

Jannis und Paula überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.

Kreisumfang Annaeherung.png

Aufgabe 1
Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft unter der Überschrift "1 Umfang und Flächeninhalt eines Kreises - 1.1 Umfang eines Kreises". Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit beiden Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.

Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.

Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)

Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser) (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)

. Forscherauftrag

Kreisförmige Gegenstände im Alltag

Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir mindestens fünf kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).

Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle in deinem Heft unter der Überschrift fest.

Gegenstand Durchmesser d (in cm) Umfang U (in cm)
... ... ...
Erkundung

Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?

Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.

Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser an und ergänzt ihre Tabelle. Beispiellösung Erkundung1.png

Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.

Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

GeoGebra

Der Kreisumfang

Merke

Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius und dem Durchmesser gilt

.

Ergänze deinen Hefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.

Die Kreiszahl π

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt.  = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie. π ist also kein Element der rationalen Zahlen.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden, schaus' dir an:

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Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

  • eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
  • Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
  • mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
  • Mittlerweile (2021) von Schweizer Forschern auf ca. 62,8 Billionen Dezimalstellen berechnet
  • beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:

π =  = 3,14159...

  • Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.

Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:

Übungen

Aufgabe 2

Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.

  1. Der Radius des Kreises beträgt cm.
  2. Der Radius des Kreises beträgt mm.
  3. Der Radius des Kreises beträgt cm.
  4. Der Radius des Kreises beträgt m.

Lösungen:

Aufgabe 3

Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.

Hinweis: 1 Zoll entspricht 2,54cm

Der Raddurchmesser beträgt 26 Zoll und damit 66,04 cm. Es gilt .

Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.
Die Kreisfläche erkunden
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