Main>Christine Staudermann |
Main>Markus Bergmann |
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| ='''Bauwerke des Menschen'''= | | =Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck= |
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| |width=435px; valign=top|[[Datei:All Gizah Pyramids-2.jpg|415px]]<br>
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| '''Die Pyramiden von Gizeh'''
| | ==Einführung== {{Hinweis Zeit|5 Minuten}} |
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| | 1. Welche Vierecke sind Rechtecke? |
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| |width=565px; valign=top|[[Datei:Louvre 2007 02 24 c.jpg|550px]]<br>
| | [[Bild:Viereck2.jpg]] |
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| '''Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris'''
| | 2. Schreibe fünf Beispiele von Rechtecken, die man in unserer Umgebung finden kann, in dein Heft. |
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| |width=460px; valign=top|[[Datei:Karlsruhe Pyramide Winter Nacht 02.JPG|325px]] <br>
| | ==Flächeninhalt== {{Hinweis Zeit|15 Minuten}} |
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| '''Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe''' (Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach und das Wahrzeichen der Stadt)
| | 1. Welche der Rechecke haben gleichen Flächeninhalt? |
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| |}
| | [[Bild:Viereck3.jpg]] |
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| <br><br><br>
| | 2. Hier handelt es sich zwar nicht um ein Rechteck, kannst du dennoch den Flächeninhalt bestimmen? |
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| ='''Eigenschaften einer Pyramide'''=
| | [[Bild:Viereck6.jpg]] |
| <br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
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| '''Fülle den Lückentext aus!'''
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Verbindet man die Ecken eines ebenen n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks, so erhält man eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S nennt man '''Spitze''' der Pyramide. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche G ist die '''Höhe h''' der Pyramide. Der '''Schnittpunkt''' der Höhe mit der Grundfläche (bzw. der Ebene in der die Grundfläche liegt) heißt '''Höhenfußpunkt''' <math>H_{F}</math>. Die Seiten zwischen Pyramidenspitze S und Ecken der Grundfläche nennt man '''Seitenkanten'''. Die Seiten der Grundfläche werden auch '''Grundkanten''' genannt. Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer '''Dreiecke''' und bilden zusammen die '''Mantelfläche'''.
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| </div>
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| }}
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| <br><br>
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| Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Die Anzahl der Seitenflächen ist gleich der Anzahl der Ecken!<br>
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| Hier siehst du drei Beispiele von Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen:
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| [[Datei:Pyramiden_mit_verschiedenen_Grundflächen.jpg|400px]]
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| Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.
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| <br>
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| <ggb_applet width="1575" height="717" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIALKsXUEAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICACyrF1BAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1cSXPbOBY+p38FRlPVp0gmSIJLWk5XZ/GWpJMaZ3p65uKCSEiiRZFqErLlVP+sOc5t7vOb5gEgqY2Wqc1NqboqDrg84gHfW/FIof3jZBiiO5akQRydNnBLayAWebEfRL3Txph3m07jx9fftXss7rFOQlE3ToaUnzZMQRn4pw2LanbXwGaz43a7TVPr6E3qu90msTS9o1u0QzS7gdAkDV5F8c90yNIR9di112dD+jH2KJeM+5yPXp2c3N/ft3JWrTjpnfR6ndYk9RsIhhmlp43s4BV0N/fQvSHJdU3DJ79++qi6bwZRymnksQYSUxgHr7970b4PIj++R/eBz/swYeLiBuqzoNeHSTkWTOpEUI0AkRHzeHDHUnh25lROmg9HDUlGI3H/hTpCYTGfBvKDu8BnyWlDa2HNdV3DxqZlmo5tm2YDxUnAIp4R44zpSd5d+y5g96pfcSRZwkM8jsMOFV2i339HuqZr6KVosGp0aCxL3dLUNc1Qja4aUzVE0ZjqcVORmorGVDSm0UB3QRp0Qnba6NIwBQyDqJuA/IrzlD+ETI4nuzCdPn4Jc0qDb0BsaICpAh2ua9pL8WfBn6llYM9MEs9w5cl4TaY5S0xsUp2nvtVMjYJpGU+dPDJPawVTNfFqE53BFljJf/JviaOxapqLHNX5dgwt81mm2D7JbaWdmQdK+4I2Ux/OhqkwGMNFxBV6jxEB47BsUHOCsAuNrSMwB4QJMgmcYgdZorWRYcMNExnIQYIOG0haB3HgP9OWnVmIQGfiqg1GiTAwMhExEJZGZSIwJSQNE4xUN4CCEETgIcEe66ILw0KmBWeGg0wYo7BJGwOhAQ/CObDXkYGRIR7GNtItZIn+sCls3XLE0KFLHVkasrDoEMwaTFqZM9A7yBCzsTK4gmg05nMQeUM/P+TxqJAFUINDmvo95aDm3OKLdkg7LIRQcS0kidAdDYU9SUbdOOIoF6KlrvUSOuoHXnrNOIenUnRL7+hHytnkDKjTnLek9eIo/ZLE/G0cjodRipAXh1ox5jjEM8d6MWo4MWZumLM3yMwNa+bYLuUbwx00Thnwj5M0J6e+fykopq4BkPwchQ9vEkYHoziYn0b7REadNht7YeAHNPoFlFVwEbigaRASviMPQpbj5iOJE//6IQUVRpN/sSQ+bdhYb1muTbBtWsTRHYisD+oO0ZyWqWEXW5qlW7blwtA8KmyP6C3dJsS1HYeAl3fALh/Kb9mGYszuCgHRCZvOtZcIw545uUzfxOH0kpz+Wzri40SmD+AbEzGnn6JeyKSKSG8LsdkbdOLJtdINQ/X19WEEZ5oaQacnYUfgGnQC2PSytqNaSSOGVlBpkkaTFFqubIFf3MeuLilk21GtpALtVUPLporzaepaziZIpUPTGpnZ5M5K6L6I9OMo4B/zEx54g2yqWD3w83jYYVMNEgTvApWXAJfWIhu8VzZibpCapPxXkZiQhjz+58zx1z7jVJ7rBnEhWwH1cHTXcZQ6Lyhye8CSiIWZ3YDKjONxqtzAjEn5zAuGcDrnH6hQir/DnNRVn/USltHTUCaASizyrjZrEUuXZVdnSTy8jO6+gsYtDKB9ko+ynXpJMBKajToQawZsqrswdwqhyp99Thg6oOmJkASAcoH2OUuoz0AYPthXP2Bdhr48QFCDXO+mG0wClnCGPndu2YALdzHm/RjU720/AWxB1dA1p2NIC4c0ioApuD6QpnAQIRtCQoi4tAJpSIXof5KpppAxiqFjjy/qxgzUQFBqE9J6aDjqS9lmuIX0gSVzSMoOP8X+Ir4gPgkC+KKR0rgRY0pZ1YjhYATdSbOfc6YgsBRNlAaiB8UcfVMrDZVpi7kKV6BYGrNXFyQN6qdgegKwN8cAGHlGwN4eA2BWARjZO2DvjgEwY8eAefEQ3JqPIpnif4nDh14cNaZJJ9WEL0MUCwtFVBd6h6gh0FRAjXlOBtElhCQBK2qqqDuK2oMG8jpfsc+YlshLsc8FUvQ4H/Q5pKMDWHSnMjPhWQ4iDy4C32dyKXKyjbAxMbKsZCpsfT1hQ1xhvroig/tKRU1ZT5wVg6NbqWrZ6NdU1ZLRz2qhlmmhkfm5af8bCIn9FqlHUpUbBcNRGHgBLxQsFPZwGXHIlJiM68vZyoCxkUhGP0dfExqlouC1KfadmmPflKb/kNX9vokoTY4GfK/m4OeK3zSKCF8JfHwQ6Pu1R19pfjNX/Sau5njqAv98tL3O4C+Ntm+X4mu4OnguCjPcSpgES1mKZt9+zFxMllfLUj8gWb7LM6dFWQ7Xk+Ww5rLMRanndlkxJtVTlkXHC9IMlTSHS9I8eyqtnV2GnG0oy7ympm3rZKdiw9MFvq2WE8Yjywm80XLiU+Cruc/j2FkC8P06AL7fEEDxcqOnmo5qtkeQZIoPy4N9rMceAdBfAvB8HQDPawSgvl8Ay93yuTLk90swsvXcMqu9W55fpjWlnR+sX/4IY64qydvVkhTTL6R0u4PC0POttSsLcX0ZVq2kXRxDJa1pP2Ox9vIoEDOfEbGro0Bs1+XalS8EbvBRYLbrdwJVStwXKo5cqqL1lSpaC0AX40pektbUA/0bXT0SyAN46PYGq1q3d6M/lZSVV7u13ZS7s++BDqDaLUDc8fD/LHdXBT+oO/hL9e6mfkTw35Y57TrBv2nF+yDQ9+qu/EsVb+OA0V94HX8k6Uq+jFgqY+8kXSlZ8767wdPkYzE/iVTOUnHlG+1EBs+49sV78/2rMsblClxUkhq+fwr6hTLmxthjXVWCZVsLGyB7tYGqAjhbTwBnRyQA/Ni7tD1WUd/nfuisRBbpU7JYDMXpwbgikrki86DS0KdNKi0R4/l6JnW+aTa7s5dbz+rO9B1WIM5za8pqEBePlh6K6G8oyl5eeghujM0qDjv6wG7LigPZ2l7XKTkY9U7881Jrnvdj66C8zWr0e/Vfdi0seo+r4lNz3S/eM0w/J3EOCv8q/v5SefEr5cPPV5SadUXZy/19cGPmpeYNK8x6Hfy9+Yzuvld7lT/qIqfQ2HrDb+R1tsLluAdcaFsuMtc83h54tlNltfw2z+/LXD1fd7XM6/7aoLCoqUM7sE/lK32J55WUYC/WWzNfbFz42Mf3eE3rD/miMSjB8XI9HC/rhaOxXxw/J7wfQ25Hw7Kv4nJfc7sEKn0qZ5x7P0DLAkeNinIz39fkLwjI878geOx78dvsl5Alun21nm5f/eF1tdnVGSmWZ5lquzv9arw8fl6tip/+U1q99EunTTOinQH6tGbbZEG1nb19+PkMAVTuJ/KYn1LC1YvYOSfc//17tWzlThKF3IBaPA+jGuda2CK2ZruWoVu2azquZW24ln1c9rii7Jf2L6kuPpp4M4aVb6cShvH931g3ZBOJ73Yp6kVRgi6RQnddE+tut+j48+v4nSw7LmZNbFGmg3VlOjgUmeL8LZ3WMg5LqGwySmBk4g1WBulXNuGwXIMbp43vfxvH/Idr1chH5wXGgbYx/2ANw1zKacLlK0g1qyKkyz4+d7sp42oxoooyZKsF9+WS3kfr6n1Uf72f/wFmxephXZS+kifLC+aL0hytK81R3aW59NPoZsXP/uopz7KPDfySRdGH9RZFH47o+x1SxC0HG2IzQGxjbJq6ae3mZyOlQcWaCyr96kHFOoSg8uGxoCJeqAnbqgYSngPpF7AQsYNchyE/mO4iF6WjgINQrl+iIPLZEPljRIfoyzgacHSNvgWsn/IWesPiDvX6nL1E9zRFIwrcWML/8v1fsfbDP+BKkHLk9WlCB2CKYvM5YIa6//1PgpjYh6433cdOni9uZvcjqi7DrerHe5dgJqiWaRPdNVxb0wgx5c6ZYs8wwzFN09ax69gmmS+vPS1QfU6gK7YGjKqDuVU82Q+YcivXFLSoWzjFYl/XPA7gx3EntmvbtmFgS8eZwTgtTAzA3HAt+N+19fVwN+dwv7g5qw7vhm8Pn9ffXK1OYrG9CNPJ7FaV4jzfRP31/wFQSwcIeF1hl60LAADhXQAAUEsBAhQAFAAICAgAsqxdQUXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICACyrF1BeF1hl60LAADhXQAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAEUMAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
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| :{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
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| <u>'''Gerade und schiefe Pyramiden'''</u>
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| Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinder der Lücke.<br>
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| <div class="schuettel-quiz">
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| Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe '''innerhalb''' der Pyramide liegt und der Höhenfußpunkt <math>H_{F}</math> mit dem '''Schnittpunkt''' der Diagonalen der Grundfläche zusammenfällt (da regelmäßige Pyramide!). Die Spitze S liegt also '''senkrecht''' über dem "Mittelpunkt" der '''Grundfläche'''.<br>
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| Bei einer schiefen Pyramide liegt die Spitze S nicht senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche. Die Höhe kann sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' <math>H_{F}</math> nicht mehr in der '''Grundfläche''' liegt.
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| </div>
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| }}
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| <br>
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| {{Kasten_blau|1= <span style="color:red">'''Hinweis:''' Innerhalb der Lerneinheit werden ausschließlich gerade Pyramiden mit regelmäßiger 3-, 4- oder 6-seitiger Grundfläche berechnet!</span>}}
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| <br><br><br>
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| ='''Volumen der Pyramide'''=
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| ===<u>Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide</u>===
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| :{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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| [[Datei:Gebastelte_Körperpaare2.jpg|300px]] <span style="color:lightgrey">. . . . . . . .</span>[[Datei:Körperpaar_mit_Reis.jpg|300px]]<br><br>
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| Vorne am Pult liegen gebastelte (offene) quadratische Pyramiden und Quader. Gleichfarbige Pyramiden und Quader bilden jeweils ein "Paar". Die beiden Körper haben die gleiche Höhe und gleich große Grundflächen.<br>
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| Bei den Quadern findest du eine Markierung, welche die eigentliche Höhe des Quaders bzw. die Begrenzung des Körpers anzeigt. Der Überstand ist nur zur besseren Handhabung beim Experimentieren gedacht und gehört nicht mehr zu dem Körper! <br><br>
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| <u>Durchführung des Experiments:</u> <br>
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| * Nimm dir ein "Körperpaar", eine Portion Reis, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.<br>
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| * Fülle die Pyramide randvoll mit Reis (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Quader um. <br>
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| * Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Quader bis zur Markierung mit Reis gefüllt ist.
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| <br>
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| Was stellst du fest?<br>
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| Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Quader und Pyramide, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?
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| :{{Hinweis versteckt|1= <span style="color:blue">Die Ergebnisse mit gebastelte Körpern sind natürlich nie 100% genau. Wenn du aber ordentlich arbeitest, solltest du ein recht gutes Ergebnis bekommen!</span>}}
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| }}
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| <br><br>
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| <span style="color:red"> '''Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufgestellt. Im Experiment hast du allerdings das Ergebnis nur für die verwendete Pyramide überprüfen können.'''<br><br>
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| '''Im Folgenden muss nun gezeigt werden, dass die von dir gefundene Volumenformel tatsächlich gilt und zwar nicht nur für eine bestimmte Pyramide, sondern für alle Arten von Pyramiden!'''</span> <br><br>
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| Dazu geht man schrittweise vor:<br>
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| Zunächst leitet man die Volumenformel für eine spezielle Pyramide her und zeigt anschließend, dass dies auch für andere Pyramiden gilt.
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| <br><br><br>
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| ===<u>Herleitung der Volumenformel für eine spezielle Pyramide</u>===
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| Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in '''sechs gleiche, senkrechte Pyramiden''' zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten).
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| <br>
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| <ggb_applet width="1584" height="717" version="4.0" 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| <br><br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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| Du sollst nun eine Formel für das Volumen einer der oben abgebildeten Pyramiden (mit quadratischer Grundfläche) herleiten. Betrachte dazu beispielsweise die rote Pyramide 1 und blende ihre Höhe ein.
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| Fordere dich selbst einmal heraus und versuche '''zumindest einen Ansatz''' für die Herleitung der Volumenformel '''selbst''' aufzustellen! Falls du gar nicht weiterkommst oder du keine Idee hast, dann klicke unten auf "Lösung anzeigen" und leite die Formel mit Hilfe des Lückentextes her.<br><br>
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| <span style="color:red">Notiere die wichtigsten Schritte der Herleitung an entsprechender Stelle auf deinem Laufzettel!</span>
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Es wird deutlich, dass alle sechs Pyramiden die gleiche '''quadratische''' Grundfläche, die gleiche '''Höhe''' und die gleiche Spitze besitzen.<br> Die '''Spitze''' der Pyramiden ist genau die Mitte des Würfel-Inneren.
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| Für das Volumen des Würfels mit Kantenlänge a gilt: <math>V_{w}=</math> '''<math>a^{3}</math>'''
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| <br><br>
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| Da der Würfel in sechs '''kongruente''' Pyramiden aufgeteilt wurde, folgt für das Volumen der Pyramide 1:<br>
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| <math>V_{p}=</math> '''<math>\frac{1} {6}\cdot a^{3}</math>'''
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| <br>
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| Außerdem ist die Grundfläche der Pyramide <math>G=</math> '''<math>a^{2}</math>''' und die Höhe <math>h=</math> '''<math>\frac{1} {2}</math>''' <math>\cdot</math> '''<math>a</math>'''.<br>
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| Damit lässt sich das Pyramidenvolumen auch als ein Vielfaches des Produktes von Grundfläche und Höhe schreiben:
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| <br>
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| <math>V_{p}=\frac{1} {6}a^{3}=</math> '''<math>\frac{1} {3}a^{2}</math>''' <math>\cdot</math> '''<math> \frac{1} {2} a</math>''' = '''<math>\frac{1} {3}G\cdot h </math>'''
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| </div>
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| }}
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| <br><br>
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| ==== Weiteres Beispiel: ====
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| Man kann einen Würfel auch in '''drei kongruente, schiefe Pyramiden''' zerlegen (s. Fotos). Dauraus folgt für das Volumen einer der Pyramiden ebenfalls <math>V=\frac{1} {3} G\cdot h</math>.
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| Die Spitzen der Pyramiden zeigen alle in die gleiche Ecke des Würfels.
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| Du kannst dir das Modell, welches auch auf den Fotos abgebildet ist, vorne am Pult anschauen.
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| <br><br>
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| |width=360px|[[Datei:Würfel_mit_drei_Pyramiden_1.jpg|300px]]
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| |width=380px|[[Datei:Würfel_mit_drei_Pyramiden_2.jpg|300px]]
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| ===<u>Von der speziellen zur allgemeinen Pyramide</u>===
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| Du hast die Gültigkeit der Formel <math>V=\frac{1} {3} G\cdot h</math> nun für eine quadratische Pyramide mit <math>h=\frac{1} {2}a</math> gezeigt, als auch im Modell für eine quadratische Pyramide mit <math>h=a</math> überprüfen können.<br>
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| Jetzt muss gezeigt werden, dass diese Formel auch für das Volumen einer beliebigen n-seitigen Pyramide gilt. Dazu muss folgender Satz bewiesen werden:
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| {{Kasten_rot|1= <u>'''Satz:'''</u> <br>
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| Zwei Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe haben das gleiche Volumen.}}
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| <br><br>
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| Das klingt stark nach dem <span style="color:red">Satz von Cavalieri</span>! Allerdings fehlt hierzu noch ein Kriterium. Nach Cavalieri sind zwei Körper volumengleich, wenn der Grundflächeninhalt und die Höhe gleich sind, als auch '''alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe den gleichen Flächeninhalt haben'''. <span style="color:red">Es muss also gezeigt werden, dass Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auf jeder Höhe (parallel zur Grundfläche) gleich große Schnittflächen besitzen!</span>
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| <br><br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
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| Im folgenden Geogebra-Applet kannst du dich in einem ersten Schritt '''anschaulich''' davon überzeugen, dass der obige Satz gilt.<br>
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| Im zweiten Schritt sollst du die Gültigkeit des Satzes mit Hilfe der Veranschaulichung zeigen.<br>
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| Im letzten Schritt sollst du mit Hilfe der Geogebra-Datei überprüfen, ob dies nun auch für schiefe Pyramiden (mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche) gilt.
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| }}
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| <ggb_applet width="1584" height="717" version="4.0" 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| <br><br>
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| <u>'''Beweis:'''</u>
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| Versuche erst einmal selbst einen Beweis zu führen! Falls du nicht weiter kommst, nutze zuerst die Tipps und versuche es nochmal, bevor du dir die Lösung anschaust! <br><br>
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| Tipp (1): {{Tipp versteckt|1=
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| Es liegt hier eine <span style="color:purple">'''Ähnlichkeitsabbildung'''</span> vor! Dabei werden die Grundflächen auf die jeweiligen Schnittflächen abgebildet!
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| }}
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| Tipp (2):{{Tipp versteckt|1=
| | '''Was du dir nun merken kannst.''' |
| Welcher <span style="color:purple">Zusammenhang</span> besteht <span style="color:purple">zwischen den Flächeninhalten</span> der Fläche A und der Bildfläche A' bei einer solchen Ähnlichkeitsabbildung?
| | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| }}
| | '''Die Fläche A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b erhält man, wenn man und b multipliziert. |
| | \mathbf {A = a \cdot b} |
| <br> | | <br> |
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| {{Lösung versteckt|
| | 3. Zeichne vier verschiedene Rechtecke in dein Heft, die alle gleichen Flächeninhalt haben. |
| <u>Voraussetzung:</u> G<sub>1</sub> = G<sub>2</sub> <br>
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| S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub> sind Streckzentren einer zentrischen Streckung von G<sub>1</sub> auf G<sub>1</sub>' bzw. von G<sub>2</sub> auf G<sub>2</sub>'. Der Streckfaktor ist jeweils <math>k=\frac{h_{s}} {h}</math>. <br>
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| <span style="color:red"> G<sub>1</sub> ist also <u>ähnlich</u> zu G<sub>1</sub>'</span> und <span style="color:red"> G<sub>2</sub> ist <u>ähnlich</u> zu G<sub>2</sub>'</span>.<br>
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| <math>\Rightarrow</math> G<sub>1</sub>' = k<sup>2</sup>G<sub>1</sub> und G<sub>2</sub>' = k<sup>2</sup>G<sub>2</sub> <br><br>
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| Da nach Voraussetzung G<sub>1</sub> = G<sub>2</sub> <br>
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| <math>\Rightarrow</math> G<sub>1</sub>' = G<sub>2</sub>'
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| }}
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| <br><br>
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| <span style="color:green">'''Nun bist du endlich am Ziel und du kannst eine allgemeine Formel zur Berechnung des Pyramidenvolumens aufstellen, welche auch wirklich für jede beliebige Pyramide gilt!'''</span>
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| <br><br><br><br>
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| ===<u>Übungsaufgaben zur Berechnung des Pyramidenvolumens</u>=== | | ==Umfang== {{Hinweis Zeit|10 Minuten}} |
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| Zur Berechnung des Pyramidenvolumens benötigt man die <span style="color:blue">Maße der Pyramidengrundfläche und der Höhe</span>. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen <span style="color:blue">erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden</span>. Bei der Berechnung muss man mit sogenannten <span style="color:red">Hilfsdreiecken</span> arbeiten. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um <span style="color:red">rechtwinklige Dreiecke</span>, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann einfach durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!
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| <br><br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT=
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| Bearbeite die Aufgaben a) und b) zur Volumenberechnung einer quadratischen Pyramide auf deinem Laufzettel.<br><br>
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| Im folgenden Geogebra-Applet kannst du dir anschauen, welche Hilfsdreiecke man zur Berechnung verschiedener Seiten verwenden kann.<br>
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| Zeichne auf deinem Laufzettel jeweils passend zur Aufgabe die benötigten Hilfsdreiecke in die quadratische Pyramide ein. Stelle immer erst die entsprechende Formel auf und setze erst anschließend die Werte ein!}}
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| <ggb_applet width="1575" height="717" version="4.0" 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| <br><br>
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| {{pdf|Lösung_Aufgabe6_Pyramidenvolumen.pdf|Ausführliche Lösung zu Aufgabe 6}}
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| <br><br><br><br><br><br>
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| ='''Mantelfläche und Mantelflächeninhalt'''=
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| <br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=
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| Fülle den Lückentext zu Mantelfläche und Mantelflächeninhalt auf deinem Laufzettel aus! <br>
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| Zeige die Lösung deiner Lehrerin!
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| }} | |
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| | 1. Welche der Rechtecke haben gleichen Umfang? |
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| <br><br><br><br>
| | [[Bild:Viereck5.jpg]] |
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| ='''Oberfläche und Oberflächeninhalt'''=
| | 2. Zeichne vier verschiedene Rechtecke in dein Heft, die alle gleichen Umfang haben. |
| <br>
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| '''<u>Körpernetz einer Pyramide</u>'''
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| <br><br>
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| Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das '''Netz der Pyramide'''. <br> Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- '''und''' Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!<br>
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| Das folgende Beispiel zeigt ein Körpernetz einer quadratischen Pyramide, welche entlang zweier Seiten- und zweier Grundkanten aufgeschnitten wurde:
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| [[Datei:Pyramidennetz7.jpg|140px]]
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| <br><br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=8|ARBEIT=
| | ==Gemischte Aufgaben zum Flächeninhalt und Umfang== {{Hinweis Zeit|15 Minuten}} |
| Zeichne das Körpernetz einer regelmäßigen dreiseitigen oder vierseitigen Pyramide.<br>
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| }} | |
| <br>
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| {|
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| |width=600px; valign=top|
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| '''Als Hilfestellung kannst du die Holzpyramiden vorne am Pult verwenden!'''<br><br>
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| <span style="color:white">_ _ _ _ _ </span>[[Datei:Holzfiguren_Pyramiden.jpg|300px]]
| | 1. Wenn du auf diesen [http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/grundwissen/rechteck.html Link] klickst, kannst du online ein paar Aufgaben zum Flächeninhalt und Umfang bearbeiten. |
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| |width=600px; valign=top|
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| '''Zur Überprüfung eurer Ergebnisse stehen auch zwei Modelle von Körpernetzen zur Verfügung:''' <br><br>
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| <span style="color:white">_ _ _ _ _ _ _ _ _ _</span>[[Datei:Modelle_Pyramidennetze.jpg|300px]]
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| |}
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| <br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=9|ARBEIT=
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| Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer n-seitigen Pyramide auf!
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| }}
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| <br><br><br><br>
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| ='''Zusammenfassung'''=
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| <br>
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| {{Achtung|Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]}}
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| <br><br>
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| {{Kasten_rot|'''Denkt an die Gestaltung eurer Formelsammlung!'''}}
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| <br><br><br><br>
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| <br> | | 2. In unteren Bild kannst du die Höhe und Breite des Rechtecks mittels der Schieberegler verändern. Versuche nun das Rechteck so zu verändern, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Rechtecks die gleiche Maßzahl haben. Wie viele verschiedene Möglichkeiten findest du? |
| | <ggb_applet height="800" width="1000" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Rechteck2.ggb" /> |
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| ='''Übungsaufgaben: Berechnungen rund um die Pyramide'''= | | ==Schon fertig?== |
| <br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=10|ARBEIT=
| | 1. Dann versuche die Oberfläche des Würfels zu berechnen (Kantenlänge ist 1 cm). |
| Die große Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 35m und eine Höhe von 22m. Wie groß ist der Innenraum und die Glasoberfläche? <br>
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| Mache zunächst eine Skizze der Glaspyramide und eventuell benötigter Hilfsobjekte (s. Aufgabe 6).<br><br>
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| <u>Hinweis:</u> Stelle (wie in den vorherigen Aufgaben) immer zuerst eine Formel auf, forme wenn nötig um und setze dann erst die Zahlenwerte ein! '''''(Nicht mit gerundeten Werten weiterrechnen!)'''''
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| }}
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| {{pdf|Lösung_Aufgabe10_Louvre.pdf|Lösung zu Aufgabe 10}}
| | [[Bild:Viereck7.jpg]] |
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| <br><br>
| | Weißt du auch, wie lange alle Kanten zusammen sind? |
| :{{Arbeiten|NUMMER=11|ARBEIT=
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| '''Berechnungen an einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide'''<br>
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| [[Datei:Sechsseitige_Pyramide_mit_Beschriftung.jpg|140px]]
| | 2. Um welchen Faktor ändert sich der Umfang, und um welchen Faktor ändert sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man alle Seitenlängen verdoppelt? |
| Bearbeite Aufgabe 11 auf deinem Laufzettel!
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| }}
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| zu Aufgabe 11 b)<br>
| | ==Quiz== |
| {{Lösung versteckt|1=
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| <ggb_applet width="1584" height="717" version="4.0" 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| }}
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| {{pdf|Lösung_Aufgabe11.pdf|Ausführliche Lösung zu Aufgabe 11}}
| | Kreuze alle Antwort an, welche deiner Meinung nach richtig sind. |
| <br><br><br><br><br>
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| ='''Abschlusstest: Multiple-Choice-Quiz'''=
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| <br>
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| :{{Arbeiten|NUMMER=8|ARBEIT=
| | <quiz display="simple"> |
| <div class="multiplechoice-quiz"> | | { ''' '''} |
| 1. Wie viele Ecken hat eine dreiseitige Pyramide?
| | - Rechtecke mit unterschiedlich große Flächeninhalt haben auch zwangsläufig unterschiedlich große Umfänge. |
| (!3) (!5) (4)
| | - Um den Umfang eines Rechtecks zubestimmen ist es zwingend notwending alle vier Seitenlängen zu kennen. |
| | + Den Flächeninhalt eines Rechtecks erhält man, wenn man die Längen zweier aneinanderliegender Seiten multipliziert. |
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| 2. Wie viele Kanten hat eine sechsseitige Pyramide?
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| (!6) (!14) (!10) (12)
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| 3. Wie viele Flächen hat eine quadratische Pyramide?
| | { '''Wie viele Rechtecke enthält das erste Blid auf dieser Seite?'''} |
| (!4) (!6) (5)
| | - 2 |
| | + 3 |
| | - 4 |
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| 4. Wie lautet die Volumenformel einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide mit Grundkantenlänge a?
| | { '''Wie viele rechte Winkel reichen bereits aus, um ein Rechteck zu konstruieren?''' } |
| (<math>V=\frac{1} {3}G\cdot h</math>) (<math>V=\frac{\sqrt{3}} {12}a^{2}\cdot h</math>) (!<math>V=\frac{\sqrt{3}} {4}a^{2}\cdot h</math>) (<math>V=\frac{1} {6}a\cdot h_{a} \cdot h</math>)
| | - 1 |
| | + 2 |
| | - 3 |
| | - 4 |
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| 5. Falte gedanklich die verschiedenen Körpernetze zu einer quadratischen Pyramide und finde heraus, welches Netz '''keine''' Pyramide ergibt! <br>
| | { '''Wie groß wird die Obefläche des obigen Würfels, wenn die Kantenlänge nicht 1 cm, sondern 2cm ist?''' } |
| (![[Datei:Pyramidennetz1.jpg|100px]])(![[Datei:Pyramidennetz2.jpg|100px]])(![[Datei:Pyramidennetz3.jpg|100px]])(![[Datei:Pyramidennetz4.jpg|100px]])(![[Datei:Pyramidennetz5.jpg|100px]])([[Datei:Pyramidennetz6.jpg|100px]])(![[Datei:Pyramidennetz7.jpg|100px]])
| | - 6 |
| </div> | | - 12 |
| }}
| | + 24 |
| | - 48 |
| | </quiz> |
