Main>Florian Bogner |
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| == Das „Drei-Würfel-Problem“ ==
| | {{Information_ohne_UploadWizard |
| | | |Beschreibung = |
| Bild von drei Würfeln einfügen!
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| {{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. | | |Genehmigung = |
| | | |Andere Versionen = |
| | | |Anmerkungen = |
| Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:
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| <math>\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}</math>
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| Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:
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| <math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>
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| In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}}
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| {{Aufgaben-M|3.1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
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| Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!
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| Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:
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| {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]
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| Lösungshilfen: {{versteckt|
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| :*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. (Wie geht das? → 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen) Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch.
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| :*Was fällt dir auf?
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| :*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deswegen geändert?
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| :*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ auch eines?
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| :*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
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| {{Lösung versteckt|:*Die Ergebnisse von ''de Méré'' sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
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| :*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
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| }}
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| {{Aufgaben-M|3.2|Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.}}
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| {{Lösung versteckt|:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math>
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| :<math>\left|\Omega\right|=6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math>
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| }}
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| {{Aufgaben-M|3.3|Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>''': „Augensumme 11“ und '''E<sub>2</sub>''': „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.}}
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| {{Lösung versteckt|
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| :*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
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| ::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math>
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| :*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten.
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| :*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math> gibt es nur ein Ergebnis.
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| :<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math>
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| :<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math>
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| :Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen ''de Méré'' und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist!
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| }}
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| {{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Efron| <big> → Weiter zu den </big><colorize>Würfeln von Efron!</colorize>]] [[File:Efron_dice.png|200px]]}}
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