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{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Lernpfad-Navigation| [[Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff]]<br />[[Die Ableitung als lokale Änderungsrate]]}}|Navigation anzeigen|Navigation verbergen}}{{Box|Aufgabe 1|a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?
 
{{Lösung versteckt|<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="e9jhefpy" />
==Der Porsche 918 Spyder==
|Applet anzeigen|Applet verbergen}}<br /> b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math> beschreiben.
{{Lösung versteckt|<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="dyeqwu9b" />
 
|Applet anzeigen|Applet verbergen}} <br /> c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim hineinzoomen ebenfalls sie aussehen wie im Punkt B?
[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px]]
|Arbeitsmethode
 
:{| class="wikitable"
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
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|}
 
==Mittlere Änderungsrate==
Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die [[/mittleren Änderungsraten/]] in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.
 
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{{Box|Aufgabe 1|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.
 
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br /> d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat.<br />
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.
 
{{Lösung versteckt|[[/Lösungskontrolle/|zum Applet]]<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>}}|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn wir beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion linear ,,lokal linear" an diesem Punkt.}}{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
 
a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math> <br />
<br />
b) <math>g(x)=100x^2</math><br />
 
c) <math>h(x)=|x^2-4|</math><br />|Arbeitsmethode
==Momentane Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>  
c) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br /> d) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
e) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?|Arbeitsmethode
}}{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
}}
}}
<br />{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn man beim Hineinzoomen in einem Punkt feststellt, dass die Funktion an dieser Stelle lokal linear ist, nennen wir die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. }}{{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br/>
 
a) Zoomen Sie vermehrt in den Punkt A hinein und schieben B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie die Steigung mit Hilfe des Differenzenquotienten. <br/> Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.<br/>
==Der Differentialquotient==
b) Welche Probleme treten bei der Bestimmung der Steigung auf? Lassen sich diese Beheben?
{{Box|Aufgabe 3|a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!
c) Lassen Sie sich die Gerade durch den Punkt A und B anzeigen und beschreiben sie die Gerade.|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
}}
}}

Version vom 7. Juli 2019, 17:35 Uhr

Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion beschreiben.

Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
d) Notiere deine Schätzung zu welchem Zeitpunkt der Porsche 100 km/h erreicht hat.
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

zum Applet
GeoGebra


Momentane Änderungsrate

Aufgabe 2

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinere dieses. Nutzen Sie hierzu die folgende Tabelle.
a) Verkleinern Sie das Intervall mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit des Porsches nach 3 Sekunden und begründe Sie Ihre Schätzung.

GeoGebra

c) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.
d) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

e) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
Tangente
Die Geraden, die durch den Punkt P(x0|f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.

Der Differentialquotient

Aufgabe 3

a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!

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