Mathematik im Dalton-Unterricht Leistungskurs: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Formeln und Sätze)
K (Winkelfunktionen)
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Es gibt p Einheitswurzeln (Lösungen der Gleichung x<sup>p</sup>=1) in '''C''': x<sup>k</sup>= <math>E(\frac{2\pi k}{p}) </math>
 
Es gibt p Einheitswurzeln (Lösungen der Gleichung x<sup>p</sup>=1) in '''C''': x<sup>k</sup>= <math>E(\frac{2\pi k}{p}) </math>
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Vieta‘sche Wurzelsätze: zu x<sup>2</sup>+ax+b=0 gilt mit den x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> (als Lösungen der Gleichung): x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>=-a
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und x<sub>1</sub>*x<sub>2</sub>=b
  
 
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Version vom 3. November 2020, 23:24 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Phase 1

A Lernwoche 35: vom 28.08.2017 bis 01.09.2017

  • Orga / Noten / Wiki / QR-Code (+ Padlet und lo-net2 einrichten)
  • Berechnung "Ziehung von Briefmarken"
  • HA: Selbsttest 25 Fragen zu W-Theorie der Sek.1. Schreiben Sie Ihre Versuche / Schwierigkeiten auf
  • Besprechung Selbsttest
  • HA: Nicht-wissender Testkandidat: 10x durchspielen (Alternative: mit Excel durchspielen)

B Lernwoche 36: vom 04.09.2017 bis 08.09.2017

  • Besprechung Selbsttest
  • Besprechung Nicht-wissender Testkandidat
  • HA: Excel-Zufallszahl mit Runden ausprobieren
  • Excel im PC-Raum
  • HA: LA-Abi 2007
  • EVA LA-Abi 2007 mit Gruppen-Besprechung (Lösungen/Probleme dokumentieren)
  • Besprechung LA-2007
  • HA Flipped MW / StAbw

C Lernwoche 37: vom 11.09.2017 bis 15.09.2017

  • Bespr. MW / StAbw
  • Übungen MW / StAbw
  • HA: Übungen MW / StAbw
  • Übungen MW / StAbw
  • HA: Flipped EW / StAbw
  • Bespr. EW / StAbw
  • Übungen EW / StAbw
  • HA: Übungen EW / StAbw
  • Interaktive Aufgaben
  • Bespr. EW / StAbw
  • Übungen EW / StAbw
  • HA: Ana Abi-2007

D Lernwoche 38: 18.09.2017 vom bis 22.09.2017

  • Bespr. Ana Abi-2007
  • HA: Flipped Bernoulli
  • Bespr. Bernoulli
  • Übung 1+2
  • HA: Aufg 3+4
  • Bespr. HA
  • Aufg Bernoulli
  • HA: Vorbereitung Klausur
  • Freies Üben für KA


Formeln und Sätze

Formeln in Wiki

Latex-Befehle

Formel im Fließtext gerade erschienen lasse wie z.B. an=\sum_{i=0}^7 mit dem Befehl „inline“.

\frac{a}{b}

Ordnungsaxiome

6. Trichtomie: für a,b \in \textbf{R} 7. Transitivität: aus a<b und b<c folgt a<c 8. Monotonie: aus a<b folgt a+c<b+c

Bilden zusammen mit dem Schnittaxiom (9) (dedekindscher Schnitt hat genau eine Trennungszahl t=(A|B), jeder Punkt von A liegt links von den Punkten von B) die Axiome eines ordnungsvollständigen Körpers (ohne Schnittaktion nur angeordneter Körper).

Komplexe Zahlen sind Punkte der (Gauß’schen) Ebene zusammen mit einfachen Verfahren diese zu Summen und Produkten zu verbinden. Addition: Komponenterweise. Multiplikation:  ( a_{1} , a_2 ) ( b_1 , b_2 ) = ( a_1 b_1 - a_2 b_2 , a_1 b_2 + a_2 b_2 )

N ist der Durchschnitt aller induktiven Mengen ( 1 \in M \bigwedge a \in M \Rightarrow a+1 \in M )

Ungleichung des arithmetischen Mittels:  a < \dfrac{a+b}{2} < b . Insbesondere gibt es zwischen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl

Wohlordnungsprinzip jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element

Abzähltheorem: hat man m Kästchen die man belegen kann und n1 Moeglichkeiten K1zu belegen und dann anschließend n_2 für K_2 (wobei n_ 2 nicht kleiner sein muss wie z.B. bei der Bildung von Wörtern) dann hat man n_1*n_2*...*n_m Möglichkeiten die Kästen zu belegen

Permutationen von {1,2,3}: 123 132 213 231 312 321

Cartesisches Produkt der Mengen Ai: A1xA2x...xAn ist die Menge aller n-Tupel (a1,a2,...,an)

Kombinatorik: n-elementige Menge A und k≤n:

  • n! PerMutationen
  • n(n-1)...(n-k+1) geordnete k-elementige TeilMengen
  •   \binom{n}{k}  k-elementige (nicht geordnete) TeilMengen
  • nk k-Tupel (z.B 5-stellige Morse-Zeichen  2^5=32. ODER 1 bis 4-stellige 2^1+2^2+2^3+2^4=30 )
  • Summe aller 1- 2- ... n-Tupel:  n \frac{n^p-1}{n-1}
  • Es gibt 2n TeilMengen einer n-elementigen Menge

Der Binomialkoeffizient liefert auch die Anzahl der möglichen Verteilungen einer n-elementigen Menge auf Kästen K1 und K2, so dass im Kasten K1 k Elemente enthalten sind und im Kasten K2 der Rest.

Polynomialkoeffizient  \frac{n!}{n_{1}! n_{2}!...n_{k}!} liefert die Anzahl der Möglichkeiten, wie man n Objekte auf k Kästen so verteilen kann, dass im ersten n1, im zweiten n2,…, im k-ten nk Objekte enthalten sind.

Binomischer Satz :  (a+b)^n=  \binom{n}{0} a^n b^0 +  \binom{n}{1} a^{n-1}b^1 + ... + a^0 b ^n

Pascalsches Dreieck (bis zur 8. Zeile)

\tbinom{0}{0}
\tbinom{1}{0}\quad\tbinom{1}{1}
\tbinom{2}{0}\quad\tbinom{2}{1}\quad\tbinom{2}{2}
\tbinom{3}{0}\quad\tbinom{3}{1}\quad\tbinom{3}{2}\quad\tbinom{3}{3}
\tbinom{4}{0}\quad\tbinom{4}{1}\quad\tbinom{4}{2}\quad\tbinom{4}{3}\quad\tbinom{4}{4}
\tbinom{5}{0}\quad\tbinom{5}{1}\quad\tbinom{5}{2}\quad\tbinom{5}{3}\quad\tbinom{5}{4}\quad\tbinom{5}{5}
\tbinom{6}{0}\quad\tbinom{6}{1}\quad\tbinom{6}{2}\quad\tbinom{6}{3}\quad\tbinom{6}{4}\quad\tbinom{6}{5}\quad\tbinom{6}{6}
\tbinom{7}{0}\quad\tbinom{7}{1}\quad\tbinom{7}{2}\quad\tbinom{7}{3}\quad\tbinom{7}{4}\quad\tbinom{7}{5}\quad\tbinom{7}{6}\quad\tbinom{7}{7}

(Quelle: Wikipedia)


Satz:  1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}

Satz:  p^n > n ... UND ... p^n>n^2 ... UND ... 2^n>n^2

Bernoulli‘sche Ungleichung:  (1+x)^{n} \geq 1+nx (for x \geq -1)

Infimum:= infM:= kleinste untere Schranke von M (ist eben eindeutig bestimmt). Falls minM existiert, dann gilt minM=infM (minimum liegt immer in M)

Satz des Archimedes: jede reelle Zahl wird von einem natürlichen Zahl übertroffen (Äquivalent dazu: die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht beschränkt)

Satz des Eudoxos: zu jedem positiven ε gibt es ein n aus N, so dass 1/n < ε


Winkelfunktionen

Euler‘sche Formel: eia = cos a + i sin a

Mit E(a):= cos a + i sin a gilt das Additionstheorem E(x)E(x)=E(x+y) und Moivre‘sche Formel (E(x))n=E(nx), und

 cos (x) = 0 \Leftrightarrow x=(2k+1) \pi / 2 , sin (x) = 0 \Leftrightarrow x=k\pi , cos (x) = 1 \Leftrightarrow x = 2k\pi

Es gibt p Einheitswurzeln (Lösungen der Gleichung xp=1) in C: xk= E(\frac{2\pi k}{p})

Vieta‘sche Wurzelsätze: zu x2+ax+b=0 gilt mit den x1 und x2 (als Lösungen der Gleichung): x1+x2=-a und x1*x2=b

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