Einführung in quadratische Funktionen und Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Seiten
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | |||
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | |||
Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>. | |||
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 === | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:kommt noch | |||
}} | }} | ||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" /> | |||
|} | |||
<!--{{ggb|W2_xm1n.ggb|datei}}--> | |||
== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze == | |||
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang: | |||
:''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:'' | |||
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math> | |||
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich: | |||
:<font style="vertical-align:0%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math> | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | |||
Zeige die Richtigkeit folgender Behauptung:<br> | |||
''Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion'' | |||
<math>f(x)=x^{-\frac{1}{n}}</math> | |||
''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> nur auf IR<sup>+</sup> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>M =</math>''IR<sup>+</sup>''.<br /> | |||
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' auf die Funktion ''f''.}} | |||
}} | |||
|} | |} | ||
== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen == | |||
=== Beispiel === | |||
Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, definiert durch <math>f(x)=x^{\frac 1 3}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> von <math>f</math> (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von <math>f^{-1}</math> und <math>f(x)=x^{-1}</math>!). | |||
}} | <math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br /> | ||
<math>y\,\, =x^{\frac 1 3}, \quad \quad |\,(\,)^3</math><br /> | |||
<math>y^3 =x^{\frac 3 3} = x. </math> | |||
& | <math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br /> | ||
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3} &|&|\,(\,)^3 \\ | |||
y^3 &=& x^{\frac 3 3} &|& \end{matrix}</math> | |||
=== Beispiel === | |||
Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich ID = IR<sup>+</sup>. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>. | |||
{ | Auflösen nach <math>x</math> ergibt:<br /> | ||
<math>y =x^{- \frac 1 3},</math><br /> | |||
<math>y^3 =x^{- \frac 3 3} = x^{-1} = \textstyle \frac 1 x, </math><br /> | |||
<math>x\cdot y^3 = 1,</math><br /> | |||
<math>x = \textstyle \frac{1}{y^3} = y^{-3}.</math><br /> | |||
== Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S" == | |||
* Spiegeln | |||
* Strecken | |||
* Stauchen | |||
* Schieben | |||
* Superponieren | |||
Siehe [http://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video] auf www.oberprima.com. | |||
== APPLET == | |||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="10_axminuas1nc.ggb" /> | |||
== test zone == | |||
{{ | <math>\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ &=& n^2 + 2n + 1\end{matrix}</math> | ||
Version vom 29. Januar 2009, 09:50 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
| Vorlage:Arbeiten |
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von und !).
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:
Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .
Auflösen nach ergibt:
Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"
- Spiegeln
- Strecken
- Stauchen
- Schieben
- Superponieren
Siehe Video auf www.oberprima.com.
APPLET
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
test zone
