Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen und Prozente und Prozentrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]]<br/>
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate|Die Ableitung als lokale Änderungsrate]] <br/>
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente|Die Ableitung als Steigung der Tangente]]<br/>
[[Kategorie:Prozentrechnung]]
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation|Die Ableitung als lokale lineare Approximation]]<br/>
 
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff|Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff]]
{{Box|Lernpfad|Herzlich willkommen im Lernpfad <b>Prozente und Prozentrechnung</b>!
[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Infos für Lehrkräfte|Infos für Lehrkräfte]]}}}}<br />
 
{{Box|Info|Auf dieser Seite werden alle Voraussetzung wiederholt, die Sie zur Bearbeitung des Lernpfades benötigen.
<br>Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.
Das Vorwissen steht Ihnen auch als PDF zur Verfügung. |Kurzinfo
<br><br>Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.
|Lernpfad}}
{{Box|Merke|
Der Begriff <b>"Prozent"</b> heißt dabei nichts anderes als <b>"von Hundert"</b>. Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als <b>einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist</b>. Es gibt also keinen Grund, vor der Prozentrechnung Angst zu haben!
|Merksatz}}
 
<b>Also: Leg los!</b>
 
==Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes==
 
{{Box|Info|
Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Noch einmal: Die Prozentrechnung ist nichts anderes als ein Sonderfall der Bruchrechnung.
|Kurzinfo}}
 
{{Box|1=Beispiel|2=
In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.
 
[[Datei:Darstellung BAG Kreis.png|506px]]
 
In der Prozentrechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst.<br>
Das <span style="color: green">Ganze</span> nennt sich hier der <span style="color: green"><b>Grundwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: green"><b>G</b></span>), der <span style="color: red">Bruchteil</span> entspricht dem <span style="color: red"><b>Prozentwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: red"><b>W</b></span>) und der <span style="color: blue">Anteil</span> wird hier <span style="color: blue"><b>Prozentsatz</b></span> (kurz <span style="color: blue"><b>p %</b></span>)" genannt und nicht mehr als Bruch, sondern als Zahlenwert mit einem Prozentzeichen (%) dahinter angegeben.
 
[[Datei:Kreis 2.png|506]]
 
|3=Beispiel}}
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Prozentwert W</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Grundwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{W*p}{100}</math>
 
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
|Merksatz}}
 
{{Box|1=Lückentext|2=
Versuche zur Verinnerlichung zu Beginn einmal, diesen Lückentext auszufüllen. Klicke dafür einfach in die entsprechenden Lückenfelder und wähle den Begriff aus, den du für richtig hältst. Überprüfe am Ende deine Eingaben durch einen Klick auf den blauen Haken unten rechts!
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prbckmkp321" style="border:0px;width:900px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}
}}


==Brüche und Prozentsätze zuordnen==
{{Box|Üben|
In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn2rsf4a521" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvpwgze6n21" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
Nachdem du dich nun noch einmal mit dem Vergleichen von Brüchen und Prozentsätzen befasst hast, kannst du dich hier einer Reihe von Aufgaben widmen, in welchen du Muster und Bilder siehst, von denen einige Teile eingefärbt sind.
<br>Gib in den entsprechenden Feldern die Anteile als Bruch sowie die Prozentsätze an!
<br><b>Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.</b>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prqmizyq321" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}


Bild mit Wiederholung einfügen
==Arbeiten mit dem Prozentstreifen==


==='''Sekanten an Funktionsgraphen'''===
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet.
[[Datei:Beispielbild Sekante.png|mini|350x350px|Sekante des Funktionsgraphen <math>f(x)
</math> durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>.|alternativtext=|ohne]]


==='''Lineare Funktionen'''===
{{Box|Info|
Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)=m\cdot x+y</math> oder  <math>y=m\cdot x+b</math> haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl  <math>m</math> gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.
Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
<br />
<br>[[Datei:Bruchstreifen.png|650px]]
===='''Der Differenzenquotient'''====
<br>In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem <b>Prozentstreifen</b>.  
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.
<br>Direkt unter diesem Text findest du einen solchen interaktiven Prozentstreifen, an dem du zunächst frei experimentieren kannst.
<br>Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Länge des Prozentstreifens, als auch den gewünschten Prozentsatz verändern.
<br><b>Unter dem Prozentstreifen wird dir dann immer der entsprechende Prozentwert angegeben.</b>
<br>Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit dem Prozentstreifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Prozentstreifen zu klein sein sollte.
|Kurzinfo}}


Ist eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a;b]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/rytqqtnq?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>


<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> an.
{{Box|Üben|
Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.<br>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6cgsbnnk21" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}


Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.
==Den Prozentwert berechnen==


====='''Beispiele'''=====
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:BeispielDQ1.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:BeispielDQ1.png|rand|480x480px]]                [[Datei:Beispiel_2DQ.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:Beispiel_2DQ.png|rand|450x450px]]
{{Box|Merke|
<br />
Sind <b>Grundwert G</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Prozentwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{G*p}{100}</math>


===='''Die h - Schreibweise'''====
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
Anstatt die Änderung der y-Werte <math>\Delta{y}=f(x_1)-f(x_0)</math> in Relation zur Differenz <math>\Delta{x}=x_1-x_0</math> zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben: <math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
|Merksatz}}
[[Datei:H-Methode_Diff.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:H-Methode_Diff.png|alternativtext=|rand|zentriert|450x450px]]<br />
|2=Erklärung: Den Prozentwert berechnen|3=Verstecken}}


==='''Änderungsprozesse'''===
<div class="lueckentext-quiz">
In folgender Tabelle sind mehrere Beispiele illustriert, die Ihnen Szenarien aufzeigen, deren absolute und mittlere Änderungen Sie bereits mit dem Wissen aus der Sekundarstufe 1 beschreiben können.
{| class="wikitable"
|+Beispiele für Bestandsgrößen und deren  Änderungen
!Bestandsgröße
!Zuflüsse
!Abflüse
|-
|Anzahl der Schüler
|Einschulungen
|Schulabgänger
|-
|Treibstoffmenge im Tank
|Tanken an der Tankstelle
|Treibstoffverbrauch
|-
|Kontostand
|Zubuchung
|Abbuchung
|-
|Anzahl der Hotelgäste
|ankommende Gäste
|abreisende Gäste
|-
|Staatsverschuldung
|Staatseinnahmen
|Staatsausgaben
|}


<br />
Um den '''Prozentwert''' zu berechnen, müssen der '''Grundwert G''' und der '''Prozentsatz p%''' gegeben sein.
Gerechnet wird dann '''G''' • '''p''' / '''100'''.


===='''Die absolute Änderung'''====
</div>
Die absolute Änderung ist die Änderung <math>f(x_1)-f(x_0) </math>eines Bestandes vom Zeitpunkt (oder einer anderen unabhängigen die sich auf den Bestand auswirkt) <math>x_1-x_0</math>.


===='''Die mittlere Änderungsrate'''====
Die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate ist die relative Änderung eines Bestandes in einem gegebenen Intervall. Sie entspricht der Steigung <math>m</math>der Sekante durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> der Bestandsfunktion <math>f</math> und lässt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.


[[Datei:Bestandsfunktion.png|verweis=https://unterrichten.zum.de/wiki/Datei:Bestandsfunktion.png|rand|400x400px]]
==Den Grundwert berechnen==
{| class="wikitable"
|+
Beispiele für mittlere Änderungsraten
!unabhängige Größe
!abhängige Größe
!mittlere Änderungsrate
|-
|Zeit
|Wegstrecke
|Durchschnittsgeschwindigkeit
|-
|Zeit
|Geschwindigkeit
|Mittlere Beschleunigung
|-
|Zeit
|Wassermenge in einem Becken
|mittlere Zuflussgeschwindigkeit
|}


====='''Beispiel: Wassertemperatur''' =====
[[Datei:Differenzenquotient Temp.png|mini|450x450px|Bestandsfunktion <math>T(x)</math>]]
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen.  Die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Intervall <math>[a;b]</math>lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen.


<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}</math>
{{Box|Merke|
Sind <b>Prozentwert W</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Grundwert G</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>G = \frac{W*p}{100}</math>


Von der zwanzigsten bis zur vierzigsten Minute nimmt die Temperatur also im durchschnitt 0,45 Grad Celsius pro Minute zu. Für die Steigung der Sekante durch die Punkte <math>A=(a|T(a))</math>und <math>B=(b|T(b))</math> gilt in dementsprechend <math>m=0,45</math>.
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
|Merksatz}}

Version vom 24. August 2021, 12:32 Uhr


Lernpfad

Herzlich willkommen im Lernpfad Prozente und Prozentrechnung!


Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.

Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.

Merke

Der Begriff "Prozent" heißt dabei nichts anderes als "von Hundert". Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist. Es gibt also keinen Grund, vor der Prozentrechnung Angst zu haben!

Also: Leg los!

Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes

Info

Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Noch einmal: Die Prozentrechnung ist nichts anderes als ein Sonderfall der Bruchrechnung.

Beispiel

In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.

Darstellung BAG Kreis.png

In der Prozentrechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst.
Das Ganze nennt sich hier der Grundwert (abgekürzt mit einem großen G), der Bruchteil entspricht dem Prozentwert (abgekürzt mit einem großen W) und der Anteil wird hier Prozentsatz (kurz p %)" genannt und nicht mehr als Bruch, sondern als Zahlenwert mit einem Prozentzeichen (%) dahinter angegeben.

506

Merke

Sind Prozentwert W und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Grundwert W ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!

Lückentext

Versuche zur Verinnerlichung zu Beginn einmal, diesen Lückentext auszufüllen. Klicke dafür einfach in die entsprechenden Lückenfelder und wähle den Begriff aus, den du für richtig hältst. Überprüfe am Ende deine Eingaben durch einen Klick auf den blauen Haken unten rechts!

Brüche und Prozentsätze zuordnen

Üben

In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!

Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!

Nachdem du dich nun noch einmal mit dem Vergleichen von Brüchen und Prozentsätzen befasst hast, kannst du dich hier einer Reihe von Aufgaben widmen, in welchen du Muster und Bilder siehst, von denen einige Teile eingefärbt sind.
Gib in den entsprechenden Feldern die Anteile als Bruch sowie die Prozentsätze an!
Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.

Arbeiten mit dem Prozentstreifen

Info

Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
Bruchstreifen.png
In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem Prozentstreifen.
Direkt unter diesem Text findest du einen solchen interaktiven Prozentstreifen, an dem du zunächst frei experimentieren kannst.
Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Länge des Prozentstreifens, als auch den gewünschten Prozentsatz verändern.
Unter dem Prozentstreifen wird dir dann immer der entsprechende Prozentwert angegeben.
Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit dem Prozentstreifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Prozentstreifen zu klein sein sollte.

Üben

Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.

Den Prozentwert berechnen

Merke

Sind Grundwert G und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Prozentwert W ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!

Um den Prozentwert zu berechnen, müssen der Grundwert G und der Prozentsatz p% gegeben sein. Gerechnet wird dann G • p / 100.


Den Grundwert berechnen

Merke

Sind Prozentwert W und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Grundwert G ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!

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