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In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.

e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.

a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.

b) Geben Sie an wie sich die Steigung ${\displaystyle m}$ einer Sekante der Funktion ${\displaystyle f}$ durch die Punkte ${\displaystyle P(x_0|f(x_0))}$ und ${\displaystyle Q(x|f(x))}$ allgemein berechnen lässt.

c) Berechnen Sie in folgender Graphik die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

Wir betrachten die Funktion ${\displaystyle f(x)=x^3+x}$, den festen Punkt ${\displaystyle P(x_0|f(x_0))}$ mit ${\displaystyle x_0=1}$und den flexiblen Punkt ${\displaystyle Q(x|f(x))}$.
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.

Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.