Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsexperiment

Das „Drei-Würfel-Problem“

Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von Chevalier de Méré (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind.

Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:

$\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}$

Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:

$\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}$

In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.

Aufgabe 3.1

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Aufgabe 3.2

Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.

$\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\}$

$\vert \Omega \vert = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216$

Aufgabe 3.3

Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse E₁: „Augensumme 11“ und E₂: „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.

• Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).

Beispiel:$\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}$

• Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschiedene Ergebnisse beachten.

• Für Ergebnisse wie $\{3,3,3\}$ gibt es nur ein Ergebnis.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %}

Da der Unterschied nicht sehr groß ist, muss Chevalier de Méré sehr oft gewürfelt haben, damit ihm das Problem aufgefallen ist!!

Würfeln von Efron

Datei:Efron dice.png

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Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen

1. Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit
2. „Gustavs Glücksspiel“
   
3. Das „Drei-Würfel-Problem“
4. Die „Würfel von Efron“
5. Das „Ziegenproblem“