Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[ | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div> | ||
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< | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Gerade Potenzen === | |||
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | |||
<ggb_applet height=" | {| cellspacing="10" | ||
filename=" | |- style="vertical-align:top;" | ||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.! | |||
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac {1}{k^n}</math>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" /> | |||
|} | |||
=== Parabel und Hyperbel === | |||
Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen <math>f(x)=x^n</math> und <math>f(x)=x^{-n}</math> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen: | |||
Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^n</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR> | |||
Für <math>f(x)=x^2</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für <math>f(x)=x^3</math> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung'''). | |||
Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten. | |||
=== Ungerade Potenzen === | |||
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | |||
{| <!--class="prettytable sortable" --> | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" /> | |||
|| | |||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | |||
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.! | |||
}} | |||
|} | |||
=== Teste dein Wissen === | |||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | |||
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl | |||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\frac{1}{16})</math> | |||
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q \left( 0,5;8 \right)</math>? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
# Die Lösung ist <math>n=4</math>, dann gilt nämlich <math>f(2) = \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}</math>. | |||
# Die Lösung ist <math>n=3</math>, dann gilt nämlich <math>f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^3} = 8</math> | |||
}} | |||
}} | |||
== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == | |||
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | |||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | |||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | |||
}} | |||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="4_ax_minus_n.ggb" /> | |||
|} | |||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" /> | |||
|| | |||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | |||
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math>, n eine natürliche Zahl | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben. | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
# <math>a = 2, n = 1</math>. | |||
# Hier gibt es wegen der Symmetrie des Graphen keine Lösungen.}} | |||
}}<br> | |||
|} | |||
=== Teste Dein Wissen === | |||
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!] | |||
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!] | |||
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" | |||
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]] | |||
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten.'''<br /> | |||
[[Bild:Pfeil.gif]] [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.''' | |||
|} | |||
Version vom 28. März 2009, 21:18 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Parabel und Hyperbel
Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen und kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
Die Graphen von Funktionen mit und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
Für heißt der Graph Normalparabel; für dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
Die Graphen von Funktionen mit und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a x-n, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste Dein Wissen
- Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
- Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!
|
Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten. |
