Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>. | '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>. | ||
=== Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 == | === Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 === | ||
* Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede? | * Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede? | ||
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<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | <math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | ||
Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt Wurzelfunktion | |||
Beispiele: | Beispiele: | ||
* <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>, aber | * <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>, aber | ||
* <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert | * <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert. | ||
* <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch | |||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename="8_ax1nc.ggb" /> | filename="8_ax1nc.ggb" /> | ||
== Der Definitionsbereich == | |||
Offenbar kann man zum Beispiel wegen | |||
* <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.</math> | |||
die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. <br />Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik: | |||
* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | |||
Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | |||
<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | |||
Version vom 19. Januar 2009, 15:28 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2
- Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
- Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Potenzen und Wurzeln
Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion
Beispiele:
- , aber
- , nicht definiert.
- , aber auch
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Der Definitionsbereich
Offenbar kann man zum Beispiel wegen
die Wurzelfunktionen zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.
Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:
Um solche Fälle von Uneindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
mit und
