Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br /> | Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br /> | ||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>. | '''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>. | ||
=== | === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | ||
{| cellspacing="10" | |||
* Gibt es Punkte, die | |- style="vertical-align:top;" | ||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="7_x1n_w2.ggb" /> | |||
|} | |||
<!--neue Datei {{ggb|7_x1n_w2.ggb|datei}}--> | |||
== Potenzen und Wurzeln == | |||
Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt ''Wurzelfunktion''. | |||
Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt: | |||
:<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> | |||
Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt: | |||
:<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | |||
= | Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: | ||
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math> | |||
<math>x^{\frac{1}{ | Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. | ||
=== Beispiel: Quadratwurzel === | |||
In der Regel hat eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa | |||
* <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>. | |||
Aus negativen Zahlen kann man dagegen keine Quadratwurzel ziehen, denn: | |||
* <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert. | * <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert. | ||
=== Beispiel: Kubikwurzel === | |||
* <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch | * <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch | ||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
filename=" | filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | ||
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> | |||
== Definitionsbereich der Wurzelfunktionen == | |||
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ==== | |||
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem ''n'' sowohl für positive als auch negative ''x'' Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt: | |||
:<math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,</math> | |||
:<math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | |||
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar: | |||
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | |||
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | |||
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | |||
== | ==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | ||
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass | |||
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. | |||
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR. | |||
== kurz nachgedacht == | |||
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Version vom 28. Januar 2009, 20:17 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.
Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzel
In der Regel hat eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
- .
Aus negativen Zahlen kann man dagegen keine Quadratwurzel ziehen, denn:
- , nicht definiert.
Beispiel: Kubikwurzel
- , aber auch
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.
kurz nachgedacht
- asd asd
- asd asd asd
- aasdd