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| {{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
| | [[File:2006-01-15 coin on water retouched.jpg|right|200px]]Die folgenden Experimente beschäftigen sich mit der Bestimmung spezieller Stoffeigenschaften, die mit einfachen Experimenten durchgeführt werden können. |
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| Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
| | {{Box|EXPERIMENT 1 (WAHLPFLICHT) - Bestimmung der Dichte eines Feststoffes|2= |
| | [[Datei:Waage mit breitem Messzylinder blauer Fluessigkeit und unregelmaessigem Koerper.svg|100px|right]]Bei diesem Experiment sollst du die Dichte von Feststoffen bestimmen. Du wirst mit Waage und Messzylinder arbeiten, um die notwendigen Werte zu bestimmen, mit denen du dann die Dichte bestimmen kannst. |
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| <br>'''Voraussetzungen: '''
| | [[Chemie/Sammlung von Experimenten/Dichtebestimmung bei Feststoffen|'''⇒ Unterseite für das Experiment''']] |
| <br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
| | |3=Experimentieren}} |
| <br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}
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| __NOTOC__
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| ==Das Flächenproblem==
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| {| | | {{Box|EXPERIMENT 2 (WAHLPFLICHT) - Bestimmung der Dichte einer Flüssigkeit|2= |
| |[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
| | [[Datei:Waage mit Messzylinder und gelber Fluessigkeit.svg|100px|right]]Bei diesem Experiment sollst du die Dichte von verschiedenen Flüssigkeiten bestimmen. Du wirst mit Waage und Messzylinder arbeiten, um die notwendigen Werte zu bestimmen, mit denen du dann die Dichte bestimmen kannst. |
| |Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
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| *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
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| |} | | '''⇒ Unterseite für das Experiment''' |
| | |3=Experimentieren}} |
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| ==Unter- und Obersumme==
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| {{Box|1=Begriffsklärung|2=
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?
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| </div>
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| <div class="width-1-2">{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=2bW8Zr7oTlY
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| |alignment=right|dimensions=350
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| }}</div>
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| </div>
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| |3=Unterrichtsidee }}
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| | {{Box|EXPERIMENT 3 (WAHLPFLICHT) - Bestimmung der Schmelztemperatur von einem Feststoff|2= |
| | Bei diesem Experiment bestimmst du die Schmelztemperatur von einem Feststoff, indem du mit dem Bunsenbrenner und mit einem Wasserbad den Stoff erhitzt. Mit einem Thermometer kannst du dann die Schmelztemperatur bestimmen. |
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| {{Box|1=Aufgabe 1|2=Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
| | ⇒ '''Unterseite für das Experiment''' |
| #Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
| | |3=Experimentieren}} |
| #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}}
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| <div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| | x || 0 || 0,5 || 1 || 1,5 ||2 || 2,5 || 3 || 3,5 || 4
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| |-
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| | f(x) || 0 || 0,0625 || 0,25 || 0,5625 || 1 || 1,5625 || 2,25 || 3,0625 || 4
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| |}
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
| | {{Box|EXPERIMENT 4 (WAHLPFLICHT) - Bestimmung der Siedetemperatur von einer Füssigkeit|2= |
| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>
| | Bei diesem Experiment bestimmst du die Siedetemperatur von einer Flüssigkeit, indem du mit der Heizplatte und mit einem Wasserbad den Stoff erhitzt. Mit einem Thermometer kannst du dann die Siedetemperatur bestimmen. |
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| '''Mittelwert: 5,375''' | | ⇒ '''Unterseite für das Experiment''' |
| </div>
| | |3=Experimentieren}} |
| {{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
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| #Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
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| <ggb_applet width="648" height="588" version="4.4" ggbBase64="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| |3=Üben}}
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| ==Das bestimmte Integral==
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| *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
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| *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
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| *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
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| *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
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| ==Flächenberechnung==
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| [[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
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| *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
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| ==Integralfunktion==
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