Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die Sinusfunktion)
(sinusfunktion und Kosinusfunktion)
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Im [https://www.geogebra.org/m/kr9vten9 Applet ] kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im [https://www.geogebra.org/m/dbb9xsm3 zweiten Applet ] die Definition der Kosinusfunktion. Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.
  
 
{{Definition|Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel <math>\alpha </math> im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: <math>x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}</math>.  
 
{{Definition|Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel <math>\alpha </math> im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: <math>x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}</math>.  
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Im [https://www.geogebra.org/m/uznfmpkj Applet ] kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im [https://www.geogebra.org/m/tubqqs2r zweiten Applet ]. Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.  
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Dabei ist man nicht darauf beschränkt, Winkel zwischen 0° und 360° zu betrachten. Man kann den Kreis auch mehrfach umlaufen, oder auch den Punkt den Kreis in der anderen Richtung durchlaufen lassen udn somit Sinuswerte von negativen Winkel betrachten. Probiere dies im [https://www.geogebra.org/m/wckjwp8d Applet ] aus.
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Untersuche die Sinus hinsichtlich ihrer folgenden Eigenschaften und notiere die Ergebnisse im Heft:  
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::* Periodizität (Wie viele Einheiten umfasst eine Periode, d. h. ab welchem Wert wiederholt sich der Verlauf des Graphen?)
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Version vom 9. Mai 2019, 22:14 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Trigonometrsiche Funktionen

Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

Sinus und Kosinuns waren zunächst nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert. Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn \alpha als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.

Einheitskreis.jpg


Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger \vec{OP} vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel \alpha und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:

\sin (\alpha) =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{Gegenkathete}{1} = Gegenkathete

\cos (\alpha) =\frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{Ankathete}{1} = Ankathete

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(\cos (\alpha )  /\sin (\alpha )). Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für \cos (\alpha) bzw. \sin (\alpha) unter Umständen auch negativ.

Das Bogenmaß

Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte Bogenmaß. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.

Einheitskreis Bogenmaß.jpg

Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß \alpha = 360° und das Bogenmaß x = 2\pi (der Umfang des Einheitskreises beträgt \pi). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß findest du unten im Definitionskasten.

Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Man kann nun die Sinusfunktion betrachten, die jedem Winkel (gemessen im Gradmaß oder - üblicherweise - im Bogenmaß) den sinuswert des Winkels zuordnet. Ebenso wird die Kosinusfunktion definiert, die jedem Winkel den Kosinuns des Wikels zuordnet. Im Applet kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im zweiten Applet die Definition der Kosinusfunktion. Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.

Definition

Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel \alpha im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}. Die Funktion f(x) = \sin (x) heißt Sinusfunktion, die Funktion f(x) = \cos (x) Kosinusfunktion.



Dabei ist man nicht darauf beschränkt, Winkel zwischen 0° und 360° zu betrachten. Man kann den Kreis auch mehrfach umlaufen, oder auch den Punkt den Kreis in der anderen Richtung durchlaufen lassen udn somit Sinuswerte von negativen Winkel betrachten. Probiere dies im Applet aus.
Nuvola apps xmag.png Untersuchen  Nuvola apps kwrite.png Protokollieren 

Untersuche die Sinus hinsichtlich ihrer folgenden Eigenschaften und notiere die Ergebnisse im Heft:

  • Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Kreissegmenten (D. h. welche Intervalle auf der x-Achse repräsentieren welchen Bereich des Einheitskreises bzw. welchen Quadranten des zugehörigen Koordinatensystems?)
  • Definitions- und Wertemenge
  • Achsenschnittpunkte
  • Periodizität (Wie viele Einheiten umfasst eine Periode, d. h. ab welchem Wert wiederholt sich der Verlauf des Graphen?)
  • Symmetrie}}