Wiederholung trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 13. Januar 2021, 22:47 Uhr

Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

Sinus und Kosinuns waren zunächst nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert. Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.

Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:





Der Punkt P hat also die Koordinaten P(). Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für bzw. unter Umständen auch negativ.

Das Bogenmaß

Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte Bogenmaß. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.

Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß = 360° und das Bogenmaß x = 2 (der Umfang des Einheitskreises beträgt ). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß finden Sie unten im Definitionskasten.

Die Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Man kann nun die Sinusfunktion betrachten, die jedem Winkel (gemessen im Gradmaß oder - üblicherweise - im Bogenmaß) den Sinuswert des Winkels zuordnet. Ebenso wird die Kosinusfunktion definiert, die jedem Winkel den Kosinuns des Wikels zuordnet. Im Applet können Sie die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im zweiten Applet die Definition der Kosinusfunktion. Sie können dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.

Dabei ist man nicht darauf beschränkt, Winkel zwischen 0° und 360° zu betrachten. Man kann den Kreis auch mehrfach umlaufen, oder auch den Punkt den Kreis in der anderen Richtung durchlaufen lassen und somit Sinuswerte von negativen Winkel betrachten. Probieren Sie dies im Applet aus.

Aufgabe Untersuchen Sie mit Hilfe des Applets die Sinusfunktion hinsichtlich ihrer folgenden Eigenschaften und notieren Sie sich die Ergebnisse: Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Kreissegmenten (D. h. welche Intervalle auf der x-Achse repräsentieren welchen Bereich des Einheitskreises bzw. welchen Quadranten des zugehörigen Koordinatensystems?) Definitions- und Wertemenge (Die Definitionsmenge bessteht aus allen Zahlen, die man für x einsetzen kann. Die Wertemenge besteht aus allen Zahlen, die als Funktionswerte herauskommen können.) Achsenschnittpunkte Periodizität (Wie viele Einheiten umfasst eine Periode, d. h. ab welchem Wert wiederholt sich der Verlauf des Graphen?) Symmetrie

Zu einem Funktionswert der Sinusfunktion können mehrere Winkel gehören, die den gleichen Sinuswert haben. Veränderen Sie hierzu im Applet den Wert von a und suche alle Winkel x, für die gilt.

Transformationen der Funktionen

Aus dem Alltag sind Ihnen vielleicht verschiedende Arten von grafischen Darstellungen bekannt, die ähnlich aussehen wie die Sinuskurve, z. B. bei der Darstellung von Schwingungen, wie sie bei der Aufzeichnung von Wechselspannungen am Oszilloskop im Physiksaal oder bei der Darstellung von Ebbe und Flut auftauchen. Die Gesetzmäßigkeiten, die diesen Schwingungen zugrunde liegen, lassen sich tatsächlich oftmals mithilfe von Gleichungen beschreiben, in denen Sinusfunktionen vorkommen. Die sogenannte "Grundfunktion" allein reicht dazu allerdings nicht aus; sie muss zur Modellierung dieser Funktionen auf verschiedene Arten transformiert werden. Mit diesen Transformationen sollen sie sich nun näher beschäftigen:
Verschiedene Transformationsarten (d. h. das Strecken bzw. Stauchen, das Verschieben sowie das Spiegeln von Graphen) sind Ihnen bereits von den quadratischen Funktionen, Potenzfunkionen und Exponentialfunktionen bekannt. (Zur Wiederholung: Transformationen von Potenzfunktionen)

Die allgemeine Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung .

Aufgabe Untersuchen Sie mit Hilfe des Applets , welche Auswirkungen die Änderungen der Parameter a,b,c und d haben. Notieren Sie die Ergebnisse. Fertigen Sie auch geeignete Skizzen an.

Ebenso kann man natürlich auch die allgemeine Kosinusfunktion betrachten.

Zusatzaufgabe zur Ergänzung:

Aufgabe Untersuchen Sie mit Hilfe des Applets , welche Auswirkungen die Änderungen der Parameter a,b,c und d haben. Notieren Sie die Ergebnisse. Fertigen auch geeignete Skizzen an.

Nun soll noch ein Zusammenhang zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion untersucht werden.

Aufgabe Untersuchen Sie mit Hilfe des Applets , wie die Kosinusfunktion aus der Sinusfunktion hervorgeht. Erklären Sie.

Funktionsgleichungen bestimmen

Nun sollen die Parameter zu gegebenen Graphen bestimmt werden.

Aufgabe Bearbeiten Sie dazu die Aufgaben auf den folgenden Seiten: Übungen 1 Übungen 2

Weitere Übungsaufgaben:

Aufgabe Bearbeite die Aufgaben auf den folgenden Seiten. Mit dem Schieberegler kannst du die Lösung schrittweise einblenden. Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Beschreiben Sie die Vorgehensweise, wie man bei gegebenem Graphen den Funktionsterm bestimmen kann.

Quellen: [1]