Potenzfunktionen - 3. Stufe und Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Silvia Joachim
(Die Seite wurde neu angelegt: *Zurück zur Einführung ---- ===Didaktischer Kommentar=== Der Lernpfad besteht aus zwei Stationen und einer Physik-Ecke. * Station 1...)
 
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*[[Trigonometrische Funktionen|Zurück zur Einführung]]
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>


----


'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''
===Didaktischer Kommentar===
 
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
 
=== Funktionsgraph kennenlernen ===
 
{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5,6\}</math>.<br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von <math>n</math> in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt <math>0^r = 0</math> und <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001b.ggb" />
|}
 
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===
 
{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="Woerler_001.ggb" />
|}
<!--
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}-->
 
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==
 
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
{{Merksatz|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist  (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen | nächstes Kapitel]]).
 
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>
 
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
}}
 
Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
 
 
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===
 
{| border="0" width="100%" cellspacing="0"
! height="0" |
|
|- valign="top"
|
Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale <math>B</math> in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
! width="300" | [[Bild:diagonale.png|right|165px]]
|- valign="top"
| Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>C</math> im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
| [[Bild:diagonale3.png|right|170px]]
|}
=== Beispiel: Kubikwurzel ===
 
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>
 
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
 
== Einfluss von Parametern ==
 
<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="8_ax1nc_w.ggb" />
 
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.
}}<br>
}}


<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}-->
Der Lernpfad besteht aus zwei Stationen und einer Physik-Ecke.
* Station 1: Einfluss der Parameter (2-3 Std.)
* Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr (1-2 Std.)
* Physik-Ecke: Anwendungen in der Physik (1-2 Std.)


== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische  Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bietet am Ende der zweiten Station eine Zusatzaufgabe den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. In der Physik-Ecke können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen aus der Physik - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.
<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====


Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>
Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Die fächerübergreifende Physik-Ecke dürfte hingegen aber mehr auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein.


Wegen
Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.
:<math>(-2)^3 = -8</math>


erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.


:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
===Methodische Anleitung für den Unterricht===


Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Er kann zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes in Expertenteams beziehungsweise in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt werden. Darüber hinaus  kann er auch gut zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht oder zu Hause verwendet werden.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams unterstützt. Für die Station zwei und für die Physik-Ecke empfiehlt sich Gruppenarbeit.
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>


==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====
Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.


Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
[[Trigonometrische_Funktionen/Einteilung der Expertenteams|Expertenteamkarten zum Ausdrucken]]
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.


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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_4._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
*[[Trigonometrische Funktionen|Zurück zur Einführung]]

Version vom 8. Dezember 2010, 13:50 Uhr

Didaktischer Kommentar

Der Lernpfad besteht aus zwei Stationen und einer Physik-Ecke.

  • Station 1: Einfluss der Parameter (2-3 Std.)
  • Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr (1-2 Std.)
  • Physik-Ecke: Anwendungen in der Physik (1-2 Std.)

Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bietet am Ende der zweiten Station eine Zusatzaufgabe den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. In der Physik-Ecke können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen aus der Physik - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.

Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Die fächerübergreifende Physik-Ecke dürfte hingegen aber mehr auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein.

Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.

Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.

Methodische Anleitung für den Unterricht

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Er kann zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes in Expertenteams beziehungsweise in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt werden. Darüber hinaus kann er auch gut zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht oder zu Hause verwendet werden.

Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams unterstützt. Für die Station zwei und für die Physik-Ecke empfiehlt sich Gruppenarbeit.

Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.

Expertenteamkarten zum Ausdrucken

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