Das Lot und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Seiten
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= | == Die „Würfel von Efron“ == | ||
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{{Kasten Mathematik|Diese besonderen Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Bradley_Efron|Bradley Efron}} (geb. 1938) von der Stanford University benannt. | |||
[[Datei:4bunteWürfel.jpg]] | |||
''' | |||
<br> | '''Spielregeln:''' Zwei Spieler wählen <u>nacheinander</u> einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt. | ||
<br> | }} | ||
{{Aufgabe|Findest du das Spiel fair?}} | |||
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''. | |||
{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}} | |||
{{Aufgaben-M|4.1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}} | |||
''Lösungshinweise:'' {{versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. | |||
Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. | |||
Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit). | |||
Beispiel für eine falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math> Dies ist zwar auch eine richtige Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich! | |||
}} | |||
{{Aufgaben-M|4.2|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den roten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}} | |||
[[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]] | |||
Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle zum Beispiel ein Baumdiagramm. | |||
* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf. | |||
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}} | |||
{{Lösung versteckt|*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. | |||
:Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math> | |||
:Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen: | |||
:<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math> | |||
*Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen: | |||
[[Datei:PiaundAnna.jpg|400px]] | |||
*Betrachte noch folgende 36-Felder-Tafel: | |||
[[Datei:36 Felder Tafel rot grün.jpg|links|250px]] | |||
:Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet. | |||
:Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert. | |||
:Zählt man die Felder einfach ab, so folgt: | |||
:Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den roten Würfel. | |||
:Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein! | |||
}} | |||
{{Aufgaben-M|4.4|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten mit zwei Würfeln von Efron gegeneinander zu spielen. | |||
Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die Werte ein. Gibt es einen besten Würfel?}} | |||
:[[Datei:EfronTabelleLeer.jpg]] | |||
:Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt. | |||
:Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen. | |||
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: | |||
{{versteckt| | |||
:[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]] | |||
:Wählt nun Pia zuerst den blauen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus. | |||
:*Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus: | |||
:[[Datei:BaumEfrongelbundblau.jpg]] | |||
*Hat Pia schon wieder die besseren Chancen? | |||
:Wir verfolgen alle Pfade, bei dennen sie sicher gewinnt: | |||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg]] | |||
:Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt also <math>\frac{1}{3}\ .</math> | |||
*Betrachten wir nun alle übrigen Pfade, wenn Anna gewinnt: | |||
[[Datei:BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg]] | |||
:Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wen wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zusammenzählen: | |||
:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\ .</math> | |||
:Dies bestätigt uns auch die Rechnung über das Gegenereignis: | |||
:<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math> | |||
*Die 36-Felder-Tafel bestätigt das Ergebnis: | |||
:[[Datei:TafelEfrongelbundblau.jpg]] | |||
:Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math> \frac {24}{36} = \frac{2}{3}</math> gegen den blauen Würfel. | |||
}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:EfronGewinntabelle.jpg]] | |||
Nein, es gibt keinen besten Würfel. Man findet zu jedem Würfel einen besseren, mit dem man mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{2}{3}</math> gewinnt. | |||
Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein! | |||
}} | |||
'''Für Interessierte:''' | |||
{{Aufgaben-M|4.5|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?}} | |||
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br> Dann sind die anderen Würfel uninteressant. | |||
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden. | |||
<br><br><br><br> Als nächstes kann der blaue Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. | |||
<br><br><br><br> Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt. | |||
<br><br><br><br> Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der rote Würfel. | |||
}} | |||
{{Aufgabe|Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}} | |||
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{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Ziegen| <big> → Weiter zum </big><colorize>Ziegen-Problem!</colorize>]]}} | |||
Version vom 4. September 2009, 06:49 Uhr
Die „Würfel von Efron“
Aufgabe
Findest du das Spiel fair?
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.
Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt
- Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
- Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit
- Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:
- Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
- Betrachte noch folgende 36-Felder-Tafel:
- Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
- Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
- Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
- Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den roten Würfel.
- Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
- Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
- Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:
Nein, es gibt keinen besten Würfel. Man findet zu jedem Würfel einen besseren, mit dem man mit einer Wahrscheinlichkeit von gewinnt.
Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein!
Für Interessierte:
Vorlage:Aufgaben-M
Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
Dann sind die anderen Würfel uninteressant.
Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Als nächstes kann der blaue Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt.
Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der rote Würfel.
Aufgabe
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.
