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| | =='''öiehjad.fgkydmx'''== |
| | [[Datei:29. Bonner Stammtisch, Petersberg (gedeckter Tisch).jpg|mini|leerer Tisch]] |
| <br /> | | <br /> |
| {{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
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| [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
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| [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
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| [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
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| [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
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| [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />
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| ==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==
| | {{Box|Leg los| |
| | | #du musst das tun |
| ===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
| | #und das |
| Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5
| | #und das auch|Üben}} |
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| Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
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| [[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
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| Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
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| {{Box|Übung 1: Wertetabelle erstellen|Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.|Üben}} | |
| {{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
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| https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
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| ===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===
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| {{Box|Bootsverleih|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
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| a) Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?<br>
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| b) Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?|Meinung}}<br>
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| Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
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| geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5
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| ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?
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| In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
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| [[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]
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| <br />
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| {{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
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| Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
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| Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?
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| (Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)
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| Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.
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| <span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5 A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)
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| <span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5
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| 10 = 6 + 5
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| 10 = 11 '''(f)'''
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| Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:
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| '''Punktprobe:'''
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| <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>
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| <span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5
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| 13 = 8 + 5
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| 13 = 13 '''(w)'''
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| Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.
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| Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
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| <div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
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| {{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}
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| {{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
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| {{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
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| <br>
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| <br>
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| ===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===
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| {{Box|Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih|[[Datei:Boat-307125 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
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| Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?|Meinung
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| }}Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.
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| '''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''
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| geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5
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| ges: zugehöriger y-Wert
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| Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5
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| <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5
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| = 3 + 5
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| = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)
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| Sie müssen 8€ bezahlen.
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| '''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''
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| Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
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| geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5
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| ges: zugehörige x-Koordinate
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| Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:
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| f(x) = 2x + 5
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| <span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5
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| 5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2
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| 2,5 = <span style="color:red">x</span> P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)
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| Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
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| <br /><div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
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| {{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| heitht = 600px}}
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| {{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun entweder x oder y in die Gleichung ein und berechne den fehlenden Wert.|Tipp zu Nr. 8|Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen <u>bunt gemischt</u>: <br>
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| * fehlende x-Koordinate: 1; 5,5; 8
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| * fehlende y-Koordinate: -2; 7; 3|Lösung zu Nr. 8|Lösung ausblenden}}{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun die entsprechenden Werte für x und y in die Gleichung ein. <br>
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| * Erhältst du eine <u>wahre</u> Aussage, z.B. 5 = 5, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. <br>
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| * Erhältst du eine <u>falsche</u> Aussage, z.B. 5 = 8, so liegt der Punkt <u>nicht</u> auf dem Funktionsgraphen.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen: (nicht in der richtigen Reihenfolge) <br>
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| * Punkt A liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
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| * Punkt B liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
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| * Punkt C liegt zweimal auf dem Graphen, einmal nicht.|Lösungzu Nr. 9|Lösung ausblenden}}{{Box|Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Bearbeite die Übungen auf den folgenden Seiten:
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| http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php <br>
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| http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php|Üben
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| }}
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| <br />
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| ===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===
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| {{Box|Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung|Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben
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| }}{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
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| Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
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| Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />
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| ===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===
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| {{Box|Lineare Funktionen erkennen - Pool|[[Datei:Smartphone-2953932 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]] Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.
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| Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung
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| }}{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
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| | 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
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| P<sub>y</sub> (0|b)
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| Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
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| N (x<sub>N</sub>I0)
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| | 3 = Merksatz
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| }}[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]{{LearningApp
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| | app = pu8028csj20
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| | width = 100%
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| | height = 400px
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| }}{{Box|Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben
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| }}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0
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| y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4
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| Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}
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| {{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}
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