Integralrechnung/Bestimmtes Integral und Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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==Das bestimmte Integral==
{{Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.}}
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann: <br><br>
{{Babel-1|M-digital}}
<div align="center">
__NOTOC__
<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br><br>
===1. Das Flächenproblem===
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
<div align="center">
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
===2. Unter- und Obersumme===
</div>
[[bild:Integral1.png|right]]
Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
{{Kastendesign1|
*Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
BORDER = #97BF87|
**Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
BACKGROUND = #AADDAA|
**Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
BREITE =100%|
**Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
INHALT= Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
** [[Mathematik-digital/Einführung in die Integralrechnung Lösung|Lösung]]
<div align="center">
*Zusammmenfassung im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt 1}}
<math>
*{{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung zur Berechnung bestimmter Integrale}}
\int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
</math>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
</div>
Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
|
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
ÜBERSCHRIFT=Definition|
}}
<br><br>
{{Merke-M|
Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind.


<math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
=== 3. Negative Fläche? ===
}}
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]  
<br><br>
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]
{{Aufgaben-M|4|Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.


Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.
=== 4. Integralfunktion ===
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt 4}}.


# <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
===5. Aufgaben===
# <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]  
# <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
}}


<div align="center">
===6. Hauptsatz der Integralrechnung ===
<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]
</div>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# A <math>=</math> 7
# A <math>=</math> 15.08
# A <math>=</math> 6.15
}}}}
<br><br>
{{Aufgaben-M|5|
Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
# Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
}}
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="400" width="600" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="best_integral.ggb" />
</div>
<br>
Applet auf geogebra.org: [https://www.geogebra.org/m/zJr5DWGA Link]
<br>
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
# Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
# Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
}}}}
<br>
 
==Berechnung des bestimmten Integrals von Hand==
An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen! <br>
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur ''Integration'' (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen. <br>
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}
<br><br><br>
<div align="center">
[[../Flächen bestimmen|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Flächeninhaltsfunktion|>>Weiter>>]]
</div>
<br>
{{Navigation Lernpfad Integral}}

Version vom 23. Februar 2007, 14:15 Uhr

Lernpfad
Einführung in die Integralrechnung
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.


Vorlage:Babel-1

1. Das Flächenproblem

2. Unter- und Obersumme

Integral1.png

3. Negative Fläche?

4. Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Pdf20.gif Arbeitsblatt 4.

5. Aufgaben

6. Hauptsatz der Integralrechnung

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