Die Zeit des ZUM-Wikis geht zu Ende!

01.09.2021: Das ZUM-Wiki kann nur noch gelesen werden.
Ende 2021: Das ZUM-Wiki wird gelöscht.

Mehr Infos hier.

Unterrichtsideen Mathe: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Charakterisierung von Folgen)
Zeile 79: Zeile 79:
 
==Klasse 11==
 
==Klasse 11==
 
===Charakterisierung von Folgen===
 
===Charakterisierung von Folgen===
Nachdem die Folgen und deren Möglichkeiten zur Darstellung eingeführt wurden, geh es nun darum die Charakterisierung von Folgen einzuführen.
+
====Was es zu lernen gilt====
 +
;Monotonie: Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: a_i \leq a_{i+1}. Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < ai + 1. Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
  
;Arbeitsblatt: Die Schüler bekommen Darstellungen von Folgen im KOS und deren Gleichungen auf jeweils getrennten Kärtchen. Zuerst ist zur Wiederholung, eine Zordnung vorzunehmen. Dann bekommen die Schüler die Aufgabe, die Folgen zu Charakterisieren oder sie in Gruppen aufzuteilen. Beim Charakterisieren müssten sie Eigenschaften finden, mit denen jede Folge so beschrieben werden kann, dass sie sich von den anderen unterscheidet (allerdings nicht die Gleichungen und deren Bestandteile verwenden => ''Quadrat kommt vor''). Allerdings sollten sich die Eigenschaften auf bei mehreren Folgen wiederfinden, es sollen nicht zu viele verschiedene Kriterien aufgestellt werden. Beim Einteilen in Gruppen sollten die Folgen nach und nach in Gruppen aufgeteilt werden, dann eventuell noch in Untergruppen. Es sollen in beiden Fällen auch Begriffe gefunden werden.
+
;Beschränktheit: Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < S. Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum. Die Begriffe nach unten beschränkt, größte untere Schranke und Infimum sind analog definiert.
 +
 
 +
;Sonstige:
 +
:* Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt '''alternierend'''.
 +
:* Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, wird '''konstante Folge''' genannt.
 +
:* Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt '''Nullfolge'''.
 +
:* Eine Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt '''periodisch'''.
 +
 
 +
====Unterrichtsablauf====
 +
Nachdem die Folgen und deren Möglichkeiten zur Darstellung eingeführt wurden, geht es nun darum die Charakterisierung von Folgen einzuführen.
 +
 
 +
;Warum macht man das?: In der Mathematik ist es üblich Objekte in Gruppen mit gleichen Eigenschaften einzuteilen. Der Vorteil der sich daraus ergibt, ist eine Zeitersparnis, denn wenn man für ein Element der Gruppe eine Feststellung macht die auf der Gruppeneigenschaft beruht, kann man diese Feststellung ohne weitere Prüfung auch auf den anderen Gruppenmitgliedern übernehmen.
 +
 
 +
;Arbeitsblatt: Die Schüler werden in Gruppen aufgeteilt und bekommen Darstellungen von Folgen im KOS und deren Gleichungen auf jeweils getrennten Kärtchen. Zuerst ist zur Wiederholung, eine Zordnung vorzunehmen (Gleichung und Bild). Dann bekommen die Schüler die Aufgabe, die Folgen zu Charakterisieren oder sie in Gruppen aufzuteilen. Beim Charakterisieren müssten sie Eigenschaften finden, mit denen jede Folge so beschrieben werden kann, dass sie sich von den anderen unterscheidet (jedoch nicht die Gleichungen und deren Bestandteile verwenden => ''Quadrat kommt vor''). Es sollten sich die Eigenschaften auch auf bei mehreren Folgen wiederfinden, es sollen nicht zu viele verschiedene Kriterien aufgestellt werden. Beim Einteilen in Gruppen sollten die Folgen nach und nach in Gruppen aufgeteilt werden, dann eventuell noch in Untergruppen oder Tabellen. Es sollen in beiden Fällen auch eigene Begriffe gefunden werden.
 +
 
 +
;Ziel des Arbeitsblattes: Die Schüler sollen für ihre Einteilung ein Übersichtblatt mit ihrer Einteilung als kleines Plakat oder Folie erstellen. Darauf sollen Definitionen für ihre Art der Einteilung/Charakterisierung vorkommen mit typischen Beispielen. Als Zusatzaufgabe kann auch versucht werden, die Einteilung anhand der Gleichung der Folge vor zu nehmen.
 +
 
 +
;Vorstellung: Der Lehrer sucht ein paar der Arbeiten aus, die sich etwas mehr unterscheiden - eventuell weiß er ja, welche Gruppen zusammengearbeitet haben. Diese Ergebnisse werden vorgestellt und diskutiert. Speziell mögliche Erklärungen für die Einteilung anhand der Gleichungen kann genauer diskutiert werden.
 +
 
 +
;Abschluß: Zum Abschluß greift der Lehrer die Ergebnisse auf und präsentiert - um Zeit zu sparen vielleicht mit einem Blatt, das ausgegeben wird - die offiziellen Bezeichnungen. Wenn die rechnerischen Charakterisierungs-Möglichkeiten gut sind, werden sie gleich aufgenommen. Im Folgenden könnten zum Testen kompliziertere Folgen-Gleichungen an der Tafel vorgegeben werden.
 +
 
 +
====Folgen für die Kärtchen====
 +
muss ich mir noch überlegen ...

Version vom 23. Juli 2008, 20:50 Uhr

Hier ein paar Ideen zum Einsatz im Unterricht. Die Ideen kamen meist spontan und ich hoffe, dass sie auch mal im Unterricht eingesetzt werden können. Ich würde mich über jede Art von Kritik freuen. Am besten auf der Diskussionsseite hierzu eintragen.

Viele dieser Ideen wurden noch nicht verwirklicht oder eingesetzt. Im Grunde genommen dient diese Seite nicht nur der Vorstellung meiner Ideen sondern auch als Notizmöglichkeit für mich.

Die Themen sind nach Klassen sortiert (noch Hessischer Lehrplan):

Inhaltsverzeichnis

Klasse 5

Kennenlernen von GeoGebra und Zeichnen von dynamischen Quadern und Pyramiden

Zur Einführung in die Benutzung von GeoGebra habe ich mir in Klasse 5 das Zeichnen von Quadern und Pyramiden ausgesucht. Unter Verwendung von Parallenen sind diese sogar dynamisch, d.h. man kann die Längen und Breitne noch verändern.

Download des Materials (Zip-Datei mit HTML-Seite und Arbeitsblatt)

Lernumgebung Abstand

Hier eine Sammlung von HTML-Seiten mit einigen GeoGebra-Zeichenblättern. Anhand von typischen Fragen (Wo lieben alle Punkte, die ...) können sich die Schüler mit dem Thema Abstand beschäftigen. Dazu gibt es Fragen und Anregungen.

Es wird auch eingeführt, wie man den Abstand zwischen Punkt/Gerade und Gerade/Gerade bestimmt und dieses Wissen wird gleich anhand von einer Aufgabe (in GeoGebra) genutzt.

Zum Abschluß können die neuen Informationen auf einem Arbeitsblatt schriftlich festgehalten werden.

Download des Materials (Zip-Datei mit HTML-Seiten

Schrägbilder mit GeoGebra entdecken

Interaktive Geometrieprogramme wie GeoGebra bieten neue Möglichkeiten, die man mit Papier und Bleistift nicht hat. Führt man z.B. das Zeichnen von Quadern mittels Schrägbidler ein, so kommt es des öfteren vor, dass es Schüler schwerfällt, die Parallelität der Seiten mit einzuzeichnen. Um dies selber zu entdecken, und damit die Wichtigkeit der Parallelität hoffentlich besser zu verinnerlichen, kam mir die Idee, GeoGebra zu verwenden.

  • Gegeben: Die 8 Ecken und 10 Seiten eines Quaders sind eingezeichnet und miteinander verbunden. Wenn du die Punkte bewegst, bleiben die Ecken verbunden.
  • Aufgabe: Versuche die Punkte so zu verschieben, dass das Bild des 3-dimensionalen Quaders möglichst "natürlich" aussieht.
  • Problem: Das könnte natürlich dazu führen, dass perspektivisch "besser" aussehen.

Klasse 6

Entdecken von Teilern und ihren Eigenschaften

Auf einem Calc-Rechenblatt sind zwei große Mutliplikationstafeln gegeben (Zahlentafel und Multiplikationstafel). Zu einer angegebenen Zahl werden auf der Tafel alle Vielfache dieser Zahl markiert.

Folgendes kann entdeckt werden: Begriff Primzahl, Finden von Rechenregeln, Entdecken von Produkt-Regeln, ...

  • Du kannst die grün unterlegte Zahl verändern. Dazu werden einige Zahlen in der Tafel rot hervorgehoben. Und zwar diejenige, die die grüne Zahl als Teiler haben.
  • Probiere ein wenig herum und setze verschiedene Zahlen in das grüne Kästchen ein. Schau dir mal an, was es da für schöne Muster gibt. Wie gefällt dir dieser mathematischer Mustergenerator?
  • Versuche die Muster zu beschreiben und in Gruppen einzuteilen (evtl. dazu ausdrucken) . Was ist mit den dazugehörigen Zahlen?
  • Hast du eine Idee, warum die Muster so entstehen?

Download der Calc-Datei Kommt demnächst.

Klasse 9

Geradengleichungen mit Geogebra selber entdecken

... eine ausführliche Beschreibung findet man auf der Seite Geraden.

Logharithmus als Skaleneinteilung - Arbeit mit Wachstumsdiagrammen

Der Logharithmus zur Einteilung von Skalen ist nicht nur in Labors gebräuchlich. Auch unser Kinder habe damit, sozusagen, seit Geburt zu tun. Die Wachstumsdiagramme, die sich am Ende des gelben Unterrsuchungsheftes befinden, bieten eine Möglichkeit sich damit zu beschäftigen ohne den Begriff Logharithmus zu verwenden.

Die Idee kam mit, weil die Sprechstundengehilfen Probleme beim Eintragen eines Wertes hat. Man muss gar nicht den Logharthmus kennen, wenn man hier was richtig eintragen will. Man muss nur die Skaleneinteilung verstehen. Neben solchen Übungen werden auch die Logharithmusgesetze entdeckt und verschiedene Aufgaben gestellt.

Download des Arbeitsblattes: Kommt demnächst.

Ich würde dieses Thema unbedingt vor der Einführung des Logarithmuses der 10. Klasse einsetzen. Vielleicht auch als Einführung dazu!?

Lernumgebung Eigenschaften der Zentrischen Streckung

  • Auf mehreren HTML-Seiten wird die Zentrische Streckung und deren Eigenschaften eingeführt. Mehrere GeoGebra-Bilder müssen verwendet werden. Durch den Einsatz von Java-Script werden Zeichnungen überprüft oder Hilfe gegeben.
  • Eine Hot-Potatoe-Test fragt das gelernte Wissen ab.
  • Eine Aufgabe führt in die Verwendung des Strahlensatzes ein.

Download der ZIP-Datei mit HTML-Dateien Noch in Arbeit.

Klasse 10

Oberflächen- und Volumenberechnung bei Körpern

Kernidee Für mich ist wichtig, das sowohl bei der Fächenberechnung als auch bei der Volumen-Berechnung die gleichen Prinzipien verwendet werden. Auch komplizierte Formeln lassen sich ziemlich leicht verstehen oder beweisen, wenn man diese Prinzipien versteht/kennt.

Deshalb sollte man sich am Anfang noch einmal mit den Flächenformel beschäftigen. Also die Formeln wiederholen und versuchen zu verstehen, wie man sie aus den anderen Formeln herleiten kann. Bei den Körpern kommt zwar noch eine Dimension dazu, aber es sind eben die gleichen Ideen wie bei den 2-dimensionalen Körpern.

  • Wiederholung: Die Schüler bekommen eine Arbeitsblatt mit vielen verschiedenen Fächen und sollen die Formeln für die Flächeninhalte bzw. den Umfang dazuschreiben. Falls sie die nicht mehr kennen, können sie auf eine Sammlung zurückgreifen, die der Lehrer an die Tafel anschreibt (allerdings nicht direkt sichtbar sondern z.B. verdeckt auf der Seitentafel).
  • Als Hausaufgabe könnte die Aufgabe verteilt werden, die Flächenformeln auf die Formeln für Rechteck und Dreieck (durch Zerlegung oder Verdopplung) zurüchgeführt werden kann. Dies wird dann in Gruppen in der Schule noch mal besprochen und den anderen vorgestellt (z.B. durch Papierschnitte auf dem OVHP).
  • Wiederholung der Körper-Bezeichnungen: Auf einem Arbeitsblatt, dass später auch als Formelblatt dienen soll, sind nur verschiedene Körper eingezeichnet. Jeder soll für sich möglichst viele Namen aus dem Gedächtnis wiederfinden.
  • Sortieraufgabe 1: Überlege dich, welche Körper sehr ähnliche Formeln haben könnten. Sortiere sie nach dieser Art. Hast du schon eine Idee, wie man das Volumen dieser Körper aus anderne Formeln bestimmen könnte?
  • Haus- und Gruppenaufgabe: Versuche die Oberflächen-Formeln für die Körper selber zu bestimmen. Verwende dazu die Vorlage mit den Netzen der Körper. Miss die Werte vorher aus und zeichne die benötigte Länge (Linien) ein. Welche Werte muss man haben? Welche kann man aus anderen berechnen? Wie viele braucht man mindestens? Bastle dann Zuhause die Körper zusammen.
  • Sortieraufgabe 2: Zu den Körpern auf dem Formelblatt wird eine Liste mit Formeln gegeben. Versuche zuzuordnen (mit Begründung)
  • ...

Es wurde noch kein Material erstellt. Wird sicher noch kommen.

Klasse 11

Charakterisierung von Folgen

Was es zu lernen gilt

Monotonie
Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: a_i \leq a_{i+1}. Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < ai + 1. Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
Beschränktheit
Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus \mathbb{N} gilt: ai < S. Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum. Die Begriffe nach unten beschränkt, größte untere Schranke und Infimum sind analog definiert.
Sonstige
  • Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
  • Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, wird konstante Folge genannt.
  • Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.
  • Eine Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch.

Unterrichtsablauf

Nachdem die Folgen und deren Möglichkeiten zur Darstellung eingeführt wurden, geht es nun darum die Charakterisierung von Folgen einzuführen.

Warum macht man das?
In der Mathematik ist es üblich Objekte in Gruppen mit gleichen Eigenschaften einzuteilen. Der Vorteil der sich daraus ergibt, ist eine Zeitersparnis, denn wenn man für ein Element der Gruppe eine Feststellung macht die auf der Gruppeneigenschaft beruht, kann man diese Feststellung ohne weitere Prüfung auch auf den anderen Gruppenmitgliedern übernehmen.
Arbeitsblatt
Die Schüler werden in Gruppen aufgeteilt und bekommen Darstellungen von Folgen im KOS und deren Gleichungen auf jeweils getrennten Kärtchen. Zuerst ist zur Wiederholung, eine Zordnung vorzunehmen (Gleichung und Bild). Dann bekommen die Schüler die Aufgabe, die Folgen zu Charakterisieren oder sie in Gruppen aufzuteilen. Beim Charakterisieren müssten sie Eigenschaften finden, mit denen jede Folge so beschrieben werden kann, dass sie sich von den anderen unterscheidet (jedoch nicht die Gleichungen und deren Bestandteile verwenden => Quadrat kommt vor). Es sollten sich die Eigenschaften auch auf bei mehreren Folgen wiederfinden, es sollen nicht zu viele verschiedene Kriterien aufgestellt werden. Beim Einteilen in Gruppen sollten die Folgen nach und nach in Gruppen aufgeteilt werden, dann eventuell noch in Untergruppen oder Tabellen. Es sollen in beiden Fällen auch eigene Begriffe gefunden werden.
Ziel des Arbeitsblattes
Die Schüler sollen für ihre Einteilung ein Übersichtblatt mit ihrer Einteilung als kleines Plakat oder Folie erstellen. Darauf sollen Definitionen für ihre Art der Einteilung/Charakterisierung vorkommen mit typischen Beispielen. Als Zusatzaufgabe kann auch versucht werden, die Einteilung anhand der Gleichung der Folge vor zu nehmen.
Vorstellung
Der Lehrer sucht ein paar der Arbeiten aus, die sich etwas mehr unterscheiden - eventuell weiß er ja, welche Gruppen zusammengearbeitet haben. Diese Ergebnisse werden vorgestellt und diskutiert. Speziell mögliche Erklärungen für die Einteilung anhand der Gleichungen kann genauer diskutiert werden.
Abschluß
Zum Abschluß greift der Lehrer die Ergebnisse auf und präsentiert - um Zeit zu sparen vielleicht mit einem Blatt, das ausgegeben wird - die offiziellen Bezeichnungen. Wenn die rechnerischen Charakterisierungs-Möglichkeiten gut sind, werden sie gleich aufgenommen. Im Folgenden könnten zum Testen kompliziertere Folgen-Gleichungen an der Tafel vorgegeben werden.

Folgen für die Kärtchen

muss ich mir noch überlegen ...