Version vom 16. Januar 2009, 14:11 Uhr

Extremwertaufgaben in der Anwendung

Einführung

Hier findest du noch die formale mathematische Definition: Definition Extremwerte

Wozu überhaupt Extremwerte?

Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw.

Allgemeines Lösungsverfahren

Ein Extremwert einer Funktion tritt immer dort auf, wo die 1. Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle hat und die zweite 2. Ableitung keine Nullstelle besitzt (Alternativ können hier statt der 2. Ableitung auch die Vorzeichen der ersten Ableitung betrachtet werden. Bei Vorzeichenwechsel liegt dann ein Extremwert vor).

Ist allerdings wie bei praktischen Problemen keine explizite Funktion vorgegeben, sondern nur das Problem formuliert, muss zunächst eine passende Funktion, die Zielfunktion, aufgestellt werden. Hierbei hilft es, sich an folgendes Schema zu halten:

1. Stelle das Problem in einer Skizze dar

Eine Skizze hilft, sich die Problemstellung deutlich zu machen. Kennzeichne in der Skizze die bekannten und unbekannten Größen. Überlege dir, welche Größen in der Skizze du noch nicht weißt und ob du diese durch die anderen Größen ermitteln kannst.

2. Stelle die Zielfunkion auf

Versuche nun, deine Skizze in eine Funktion zu übertragen. Hierbei musst du die Größe, die du maximieren oder minimieren willst, durch die anderen vorhandenen Größen ausdrücken.

3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen

Unter Nebenbedingung versteht man einen für die Aufgabe notwendigen Zusammenhang, der nicht direkt aus der Aufgabenstellung hervorgeht. Ist in der Zielfunktion also noch eine Größe, die du nicht kennst, versuche sie durch die anderen gegebenen Größen z.B. mit Hilfe eines geometrischen Zusammenhangs auszudrücken. Am Schluss darf deine Zielfunktion nur noch von einer Größe abhängen.

4. Extremwert der Zielfunktion bestimmen

Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch Einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um ein Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum.

Beispiele für anwendungsbezogene Extremwertaufgaben (mit Lösungsanleitung)

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg

Aufgabe

Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage

(a.) 1000m

(b.) 100m.

Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?

                            Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!

Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:

1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar:

Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.

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 {{Kurzinfo-1|M-digital}}
-= Extremwertaufgaben in der Anwendung =
-[[Bild:einführungsgrafik4.png|left]]
-Als Extremwert einer Funktion wird derjenige Wert bezeichnet, der innerhalb eines gewissen Bereichs größer ('''Maximum''') bzw. kleiner ('''Minimum''') als alle anderen Werte in diesem Bereich ist. Hierbei wird noch zwischen einem '''lokalen''' und einem '''globalen''' Extremwert unterschieden. Global ist der Extremwert dann, wenn er der größte bzw. kleinste Wert im '''gesamten''' Definitionsberich ist, im anderen Fall ist es ein lokaler Extremwert.
-'''Formal ist er folgendermaßen definiert:'''
+= Extremwertaufgaben in der Anwendung =
-Es sei <math> U \subseteq\mathbb R </math> eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und <math> f\colon U\to\mathbb R </math> eine Funktion.
+==Einführung==
+Hier findest du noch die formale mathematische Definition: [[Definition Extremwerte]]
-f hat an der Stelle <math> x_0\in U </math>
+==Wozu überhaupt Extremwerte? ==
+Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw.
-* ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math>  x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;
-* ein globales Minimum, wenn <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt;
-* ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass  <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;
-* ein globales Maximum, wenn <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt.
-==Wozu überhaupt Extremwerte? ==
-Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw.
 == Allgemeines Lösungsverfahren ==
 Ein Extremwert einer Funktion tritt immer dort auf, wo die 1. Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle hat und die zweite 2. Ableitung keine Nullstelle besitzt (Alternativ können hier statt der 2. Ableitung auch die Vorzeichen der ersten Ableitung betrachtet werden. Bei Vorzeichenwechsel liegt dann ein Extremwert vor).
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 '''4. Extremwert der Zielfunktion bestimmen'''
-Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um eine Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum.
+Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch Einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um ein Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum.
+==Beispiele für anwendungsbezogene Extremwertaufgaben (mit Lösungsanleitung)==
+===Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg===
+{{Aufgabe|
+[[Bild:AckerStraße2.jpg|left|133px]]Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage
+(a.) 1000m
+(b.) 100m.
+Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?}}
+                             Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!
+Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:
+'''1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar''':
+Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.
+{{Lösung versteckt mit Rand|[[Bild:SkizzeAckerStraße.jpg|center]]
+}}
+'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' :
+Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
+{{Lösung versteckt mit Rand|Der Weg des Fußgängers setzt sich aus 2 Teilstrecken zusammen, nämlich aus einem geraden Weg über den Acker von A nach X (X liegt auf der Straße) und dem Teilstück x von X nach C auf der Straße, wobei X die Entfernung x von C hat mit <math>0 \le x  \le 1000</math> . Der Weg von A nach X führt also über den Acker, der Weg von X nach C über die Straße.
+* Sei y die Länge des Weges von A nach X.
+* Die Länge des Weges von X nach B ist 1000 - x.
+* Da der Fußgänger auf dem Acker nur halb so schnell voran kommt wie auf der Straße, müssen die dort zurückzulegenden Meter doppelt gezählt werden.
+Die Überlegungen führen uns zu folgender '''Zielfunktion''':
+<math>f(x)=2*y+ (1000-x)</math>
+Diese ist zu minimieren.
+}}
+'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a)''':
+Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.
+{{Lösung versteckt mit Rand|Die Länge des Weges von A nach X ist nach Pythagoras <math>y=\sqrt{400^2+x^2}</math> .
+Mit dieser Nebenbedingung  <math>y=\sqrt{400^2+x^2}</math> ergibt sich durch Ersetzen von y in der [[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion|Zielfunktion]]:
+''' <math>f(x)=2*\sqrt{400^2+x^2}+ (1000-x)= min!</math>'''
+}}
+'''4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):'''
+Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.
+{{Lösung versteckt mit Rand|1=
+'''Teilaufgabe a)'''
+* Um den Extremwert der Zielfunktion bzw. den schnellsten Weg, um von A nach B zu kommen, zu bestimmen, benötigen wir die erste Ableitung dieser Funktion, die wir gleich 0 setzen, also <math>f'(x)=0</math>:
+<math>f'(x)=(2x/\sqrt{400^2+x^2})-1=0</math>
+* Durch Auflösen dieser Bedingung nach x erhält man als Lösung
+<math>x=\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx230.94</math>
+* Um nachzuprüfen, ob an dieser Stelle ein lokales Minimum (schnellster Weg) vorliegt, berechnen wir die zweite Ableitung der Zielfunktion f<nowiki>''</nowiki>(x) und prüfen, ob durch Einsetzen von unserer Lösung x in f<nowiki>''</nowiki>(x) eine Zahl größer als 0 vorliegt, also ob f<nowiki>''</nowiki>(x)>0:
+Es gilt <math>f''(x)=[2*\sqrt{400^2+x^2}-2x^2/\sqrt{400^2+x^2}]/(400^2+x^2)</math>
+und somit <math>f''(\sqrt{\frac{400^2}{3}})>0</math>
+* Die Weglänge über die Straße, also die Entfernung von Punkt B zu X, beträgt also
+<math>1000-\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx769.04</math>.
+Die Weglänge über den Acker beträgt
+<math>y=\sqrt{400^2+\sqrt{400^2/3} }\approx461.8</math>.
+'''Teilaufgabe b)'''
+* Wenn allerdings der Abstand zwischen B und C nur 100m beträgt, so lautet die zu minimierende Zielfunktion
+<math>f(x)=2*\sqrt{400^2+x^2}+(100-x)</math>
+* Die Ableitung hiervon ist die gleiche wie in Teilaufgabe a) schon betrachtet:
+<math>f'(x)=(2x/\sqrt{400^2+x^2})-1</math>.
+Setzt man diese Ableitung gleich 0, so hat sie für <math>0\le x\le100</math> keine Nullstelle bzw. keine Lösung. Hiermit gibt es in diesem Fall kein lokales Minimum. Die Funktion ist im Intervall [0,100] also streng monoton, weshalb der minimale Wert am Rand des Definitionsbereiches liegen muss, also entweder bei <math>x=0</math> oder bei <math>x=100</math>.
+* Durch Einsetzen von x = 0 erhält man <math>f (0)=2*400+100=900</math>
+Durch Einsetzen von x = 100 erhält man <math>f (100)=2*412+100-100=824</math>
+Da der Funktionswert für x=100 der kleinere ist, führt folglich der kürzeste Weg von A nach B auf gerader Linie direkt über den Acker.
+}}
+===Bastelstunde: Falten einer Schachtel===
+{{Aufgabe|
+Von einem rechteckigen Karton mit Seitenlängen '''a''' und '''b''' (mit '''b''' <math>\le</math> '''a''') schneidet man an den Ecken Quadrate der Seitenlänge '''x''' aus, so dass man damit eine oben offene Schachtel falten kann. Die Schachtel besteht dabei aus der Grundfläche '''G''' und den Seitenflächen '''S1''' bis '''S4'''.
+::a.) Berechne '''x''' in Abhängigkeit von '''a''' und '''b''' für den Fall, dass das Schachtelvolumen möglichst groß ist.
+::b.) Was ergibt sich im Sonderfall '''a''' <math>=</math> '''b'''?
+::c.) Wie groß ist das maximale Volumen für '''a''' <math>=</math> 21 und '''b''' <math>=</math> 16?}}
+            Schreibe deine Gedanken, den Rechenweg und deine Ergebnisse auf einem Blatt Papier nieder.
+       Falls du an einer Stelle nicht weiterkommst, oder du zum Schluss die Lösungen vergleichen möchtest,
+                                  kannst du folgende Hinweise zu Hilfe nehmen:
+Fertige zuerst eine Skizze der Aufgabenstellung an, in welche die gegebenen und gesuchten Variablen eingezeichnet werden. Dadurch sind die Zusammenhänge leichter ersichtlich.
+{{Lösung versteckt mit Rand|[[bild:lernpfad.jpg]]
+Somit wird die längere Seite der ausgeschnittenen Schachtel mit <math> (a-2 \cdot x) </math> und die kürzere mit <math> (b-2 \cdot x) </math> bezeichnet.
+}}
+'''Lösungsweg zu Teilaufgabe a.)'''
+Nun gilt es, mit Hilfe der Variablen in der Skizze die Formel für das Schachtel-Volumen aufzustellen. Weißt du noch, wie man das Volumen eines Quaders berechnet?
+{{Lösung versteckt mit Rand|Wie du dich vielleicht erinnerst, berechnet man das Volumen eines Quaders mit dem Merksatz "Länge mal Breite mal Höhe". Hier in unserem Fall lautet die Formel also:
+<math> \begin{matrix} V(x) &=& (a-2x) \cdot (b-2x) \cdot x \\ \ &=&(ab-2ax-2bx+4x^2) \cdot x \\ \ &=&4x^3-2ax^2-2bx^2+abx \end{matrix} </math>
+}}
+Jetzt bilden wir die erste Ableitung der Volumenformel '''V(x)''' und setzen diese gleich Null, um "Kandidaten" für Extrempunkte zu bekommen.
+{{Lösung versteckt mit Rand|<math> \begin{matrix} V^\prime(x) &=&12x^2-4ax-4bx+ab \\ \ &=&12x^2-4(a+b)x+ab  \end{matrix} \qquad \qquad \stackrel{!}{=} \ 0 </math>
+Mit Hilfe der "Mitternachtsformel" erhalten wir maximal 2 mögliche Extremstellen (da dies ein Polynom zweiten Grades ist):
+<math> \begin{matrix} x_{1,2} &=&\frac {4(a+b)\pm \sqrt{16(a+b)^2-4 \cdot 12 \cdot ab}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm \sqrt{16a^2+32ab+16b^2-48ab}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm \sqrt{16a^2-16ab+16b^2}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm 4\sqrt{a^2-ab+b^2}}{24} \\ \ &=&\frac{a+b \pm \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}\end{matrix} </math>
+:<math> \Rightarrow \qquad x_1 =\frac{a+b+ \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6} \quad , \quad x_2 =\frac{a+b- \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}</math>
+}}
+Für welchen unserer Extremstellen-"Kandidaten" das Schachtelvolumen maximal wird, sehen wir nun durch sukzessives Einsetzen der erhaltenen Punkte in die zweite Ableitung der Volumenformel '''V(x)'''.
+{{Lösung versteckt mit Rand|<math> {V^\prime}^\prime (x) = 24x-4a-4b </math>
+:<math> \Rightarrow </math>
+:::<math> {V^\prime}^\prime (x_1) = 4(a+b+ \sqrt{a^2-ab+b^2})-4a-4b =4 \sqrt{a^2-ab+b^2} \qquad > \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_1 \ ist \ Minimum </math>
+:::<math> {V^\prime}^\prime (x_2) = 4(a+b- \sqrt{a^2-ab+b^2})-4a-4b =-4 \sqrt{a^2-ab+b^2} \quad < \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_2 \ ist \ Maximum </math>
+'''Ergebnis:''' Nach Herausschneiden von Quadraten der Seitenlänge '''<math>x_2</math>''' an den Ecken des Kartons besitzt die gefaltete Schachtel das größtmögliche Volumen!
+}}
+'''Lösungsweg zu Teilaufgabe b.)'''
+Für den Sonderfall '''<math> a = b </math>''' ersetzen wir also nun die Variable '''b''' durch die Variable '''a''', was bedeutet, dass unser Karton jetzt quadratisch ist. Dadurch erhalten wir sofort zwei neue Lösungen für die Seitenlänge '''x''' der herauszuschneidenden Quadrate.
+{{Lösung versteckt mit Rand|<math> x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{a^2-a^2+a^2}}{6} = \frac{2a \pm a}{6} </math>
+:<math> \Rightarrow </math>
+:::<math> x_1 = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad Fuer \ diesen \ Fall \ gibt \ es \ keine \ Schachtel, \ da \ (a-2x_1)=0 </math>
+:::<math> x_2 = \frac{a}{6} \quad \Rightarrow \quad {V^\prime}^\prime (x_2) = 24 \left( \frac{a}{6} \right) -4a-4a = -4a \quad < \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_2 \ ist \ Maximum </math>
+'''Ergebnis:''' Die Schachtel hat die Kanten '''a/6''', '''4a/6''' und '''4a/6'''. Das ist das Verhältnis '''<math> 1 \ : \ 4 \ : \ 4 </math>'''.
+}}
+'''Lösungsweg zu Teilaufgabe c.)'''
+Zum Schluß haben wir noch zwei konkrete Werte für unsere Kartonseitenlängen gegeben, nämlich '''<math> a = 21 </math>''' und '''<math> b = 16 </math>'''. Wie groß ist hierfür das maximale Volumen '''<math>V_\mathrm{max} (x) </math>'''?
+{{Lösung versteckt mit Rand|Dazu setzen wir zunächst '''a''' und '''b''' in die Formel unseres Maximums aus Teilaufgabe a.) ein:
+<math>x = \frac{a+b- \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6} = \frac{37- \sqrt{441-336+256}}{6} = \frac{37-19}{6} = 3 </math>
+Jetzt wissen wir, welche Länge die Quadrate haben, die wir an den Ecken des Kartons ausschneiden müssen. Mit diesem Wert lässt sich schließlich '''<math>V_\mathrm{max} (x) </math>''' berechnen:
+<math> V_\mathrm{max} (x) = (21-6) \cdot (16-6) \cdot 3 = 15 \cdot 10 \cdot 3 = 450 </math>.
+'''Skizze zur Veranschaulichung:'''
+Dies ist ein interaktives Koordinatensystem, in dem man durch Einstellen der Kartonseitenlängen '''a''' und '''b''' das Volumen der Schachtel durch die Funktion '''f''' in Abhängigkeit von '''x''' angezeigt bekommt. Auf der x-Achse ist die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate und auf der y-Achse das Schachtelvolumen angegeben.
+Vorgehensweise: Mit Hilfe der Schieberegler stellt man die gewünschten Seitenlängen des Kartons ein. Dadurch verändert sich der Graph der Funktion '''f'''. Im höchsten Punkt der nach unten geöffneten Parabel ist dann das maximale Volumen der erzeugten Schachtel angegeben. Senkrecht unterhalb dieses Punktes auf der x-Achse lässt sich dann leicht der Wert '''x''' ablesen, für den das maximale Schachtelvolumen erreicht wird. Die zweite Nullstelle des Graphen neben der Nullstelle '''<math> x = 0 </math>''' zeigt an, ab welcher Größe der auszuschneidenden Quadrate keine Schachtel mehr gefaltet werden kann. Der restliche Verlauf des Graphen ab der zweiten Nullstelle ist irrelevant.
+<ggb_applet width="400" height="300" filename="VolumenSkizze.ggb" showResetIcon="true" />
+}}
+=== Der schräge Wurf ===
+{{Aufgabe|
+Nun wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht.
+Hierzu sind natürlich einige Vorüberlegungen zu treffen. Von welchen Größen hängt die Wurfweite ab? Erinnerst du dich an die entsprechenden physikalischen Formeln?}}
+                       Wenn du dich nicht erinnern kannst oder um deine Formeln zu überprüfen,
+                                klicke auf Lösung anzeigen! Aber: Vorher nachdenken!
-== Der schräge Wurf ==
-Als erstes Beispiel wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht. Hierzu sind natürlich einige Vorüberlegungen zu treffen. Von was hängt die Wurfweite sonst noch ab? Erinnerst du dich an die entsprechenden physikalischen Formeln? Wenn du dich nicht erinnern kannst oder um deine Formeln zu überprüfen, klicke auf Lösung anzeigen! Aber: Vorher nachdenken!
 {{Lösung versteckt mit Rand|Entscheidend ist die Zerlegung der Bewegung in eine x- und eine y-Komponente.
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 Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Nebenbedingung mit entsprechender Auflösung:
 {{Lösung versteckt mit Rand|Störend ist bei uns noch die Variable t. Wir interessieren uns ja nur für den Zeitpunkt, an dem der Ball/Stein oder ähnliches wieder auf dem Boden aufkommt. Dies ist genau der Zeitpunkt, bei dem unsere zweite Ortsfunktion y(t) (also die Höhe) wieder 0 ist. Als Funktion:
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 }}
-Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch für die Aufgabe wesentliche Größen ausdrücken. Dies musst du nun in die Zielfunktion einsetzen.
+Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch die für die Aufgabe wesentlichen Größen ausdrücken und in die Zielfunktion einsetzen.
 {{Lösung versteckt mit Rand|Mit der Information über t können wir t nun in unserer Ortsfunktion <math> x(t,\alpha) </math> elimieren.
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 <math> x(t_{2},\alpha)= v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot t_{2} = v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g}= \frac {2 \cdot v_{0}^2}{g} \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha)=x(\alpha) </math>
-Somit hängt unsere Wurfweite wie gewollt nur noch vom Abwurfwinkel <math> \alpha </math> ab. In der Skizze kannst du zusätzlich die Abwurfgeschwindigkeit <math> \v_{0} </math> variieren, die wir in der Berechnung zunächst einmal als fest voraussetzen.
+Somit hängt unsere Wurfweite wie gewollt nur noch vom Abwurfwinkel <math> \alpha </math> ab. In der Skizze kannst du zusätzlich die Abwurfgeschwindigkeit <math> v_{0} </math> variieren, die wir in der Berechnung zunächst einmal als fest voraussetzen.
 Skizze:
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 }}
-Du hast nun die Zielfunktion aufgestellt und die störende Variable durch deine Nebenbedingung elimiert. Nun hast du eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von <math> x(\alpha)</math>.
+Du hast nun die Zielfunktion aufgestellt und die störende Variable durch deine Nebenbedingung eliminiert. Nun hast du eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von <math> x(\alpha)</math>.
 Dieses Maximum können wir bestimmen, indem wir die Funktion einmal ableiten und die Nullstellen dieser Ableitung suchen. Da die Funktion nur von <math> \alpha </math> abhängt, musst du jetzt natürlich nach <math> \alpha </math> ableiten. Versuche, die Nullstelle zu bestimmen.
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 <math> x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (cos(\alpha)^2 - sin(\alpha)^2) </math>
-<math> x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (1-2sin(\alpha)^2) \stackrel{!}{=} 0 \qquad \qquad sin(x)^2+cos(x)^2=1</math>
+<math> x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (1-2sin(\alpha)^2) \stackrel{!}{=} 0 \qquad \qquad (sin(x)^2+cos(x)^2=1)</math>
 <math> \Leftrightarrow 2 \cdot sin(\alpha)^2 = 1 \qquad \Leftrightarrow sin(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} </math>
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 Zur Überprüfung, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, sollten wir noch die 2. Ableitung überprüfen:
-<math> x''(\alpha) = - \frac{8 \cdot sin(\alpha)*cos(\alpha)}{g} < 0 \qquad für \alpha \approx 45^\circ </math>
+<math> x''(\alpha) = - \frac{8 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)}{g} < 0 \qquad \qquad \alpha \approx 45^\circ </math>
 Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum und die Wurfweite wird bei <math> \alpha = 45^\circ </math> maximal.
 }}
+Du hast nun herausgefunden, dass die Flugweite eines geworfenen Objekts nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt, sondern auch vom Winkel, in dem das Objekt abgeworfen wird. Unter dem soeben bestimmten Winkel ist die Flugweite maximal.
-==Dritte Überschrift ==
+Versuche nun noch zu berechnen, welche maximale Höhe das Objekt dabei erreicht. Wir suchen also wieder den Extremwert, diesmal allerdings den maximalen Wert der Höhe. Die Höhe wurde bisher als Funktion y(t) bezeichnet. Klar ist, dass der Ball wohl je höher fliegen wird, je steiler man ihn nach oben wirft und die Flughöhe bei <math> \alpha=0^\circ </math>, also den Wurf senkrecht nach oben, sein Maximum haben wird.
+Die Frage ist nun allerdings wie hoch der Ball unter dem berechneten "optimalen" Abwurfwinkel fliegt.
-==Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Acker neben Straße==
-{{Aufgabe|
-Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage
-(a.) 1000m
-(b.) 100m.
+{{Lösung versteckt mit Rand|Wir müssen die Ableitung der Funktion y(t) wieder gleich 0 setzen, um die Extremwerte der Funktion herauszufinden und diese Werte dann mithilfe der 2. Ableitung überprüfen:
-Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?}}
+<math> y(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 </math>
+<math> y'(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 2 \cdot t \stackrel{!}{=} 0</math>
-                   Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!
+<math> \Rightarrow t_{max} = \frac{ v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} </math>
+Einsetzen in y(t):
+<math> y(t_{max})= v_{0} \cdot sin(\alpha) \frac{v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g^2} </math>
-[[Bild:AckerStraße.jpg]]
+<math> = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g} - \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g} </math>
+<math> = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g} </math>
+Einsetzen von <math> \alpha_{max}=45^\circ </math>
-                    Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:
+<math> y(t_{max})= \frac{v_{0}^2}{4g} </math>
+Zuletzt noch die Überprüfun der 2. Ableitung:
-'''1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar''':
+<math> y''(t_{max})= -g < 0 </math>
-Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.
+Somit handelt es sich um ein Maximum und wir haben die Flughöhe für beliebige Anfangsgeschwindigkeiten bestimmt.
-[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Skizze "Acker neben Straße"|Skizze "Acker neben Straße"]]
+}}
-'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' :
-Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
-[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion|Zielfunktion]]
-'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a)''':
-Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.
-[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion mit Nebenbedingung|Zielfunktion mit Nebenbedingung]]
-'''4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):'''
-Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.
-[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Extremwertbestimmung|Extremwertbestimmung]]
+Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!
-{{mitgewirkt|* <Ihr Name>}}
+{{mitgewirkt|
+* [[Benutzer:Joerg Stadlinger|Jörg Stadlinger]]
+* [[Benutzer:MatThe|Matthias Then]]
+* [[Benutzer:Hofmeier|Mareike Hofmeier]]}}
-[[Kategorie:Kurvendiskussion]]
+[[Kategorie:Extremwerte]]

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Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. Januar 2009, 14:11 Uhr

Extremwertaufgaben in der Anwendung

Einführung

Wozu überhaupt Extremwerte?

Allgemeines Lösungsverfahren

Beispiele für anwendungsbezogene Extremwertaufgaben (mit Lösungsanleitung)

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg

Bastelstunde: Falten einer Schachtel

Der schräge Wurf

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