Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben und Google Maps im Unterricht/Virtuelle Exkursion Südengland: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Joerg Stadlinger
 
Main>Berny1
 
Zeile 1: Zeile 1:
{{Lernpfad-M|Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.
=== Geomorphologie ===
*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden
*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration
}}


{{Kurzinfo-1|M-digital}}
Für geomorphologische Veranschaulichungen eignet sich Google xxxx besser, da hier 3D-Ansichten erzeugt werden können. Trotzdem sollen hier einige Beispiele vorgestellt werden.


= Extremwertaufgaben in der Anwendung =
[[Bild:einführungsgrafik4.png|left]]
Als Extremwert einer Funktion wird derjenige Wert bezeichnet, der innerhalb eines gewissen Bereichs größer ('''Maximum''') bzw. kleiner ('''Minimum''') als alle anderen Werte in diesem Bereich ist. Hierbei wird noch zwischen einem '''lokalen''' und einem '''globalen''' Extremwert unterschieden. Global ist der Extremwert dann, wenn er der größte bzw. kleinste Wert im '''gesamten''' Definitionsberich ist, im anderen Fall ist es ein lokaler Extremwert.




'''Formal ist er folgendermaßen definiert:'''
'''Britische  Küstenlandschaften im Verbund mit Fotos'''  


Es sei <math> U \subseteq\mathbb R </math> eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und <math> f\colon U\to\mathbb R </math> eine Funktion.
{{Aufgaben||2=


[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=50.419128,-5.071703&spn=0.004191,0.006899&t=k&z=17 Kliffküste bei Newquay/Cornwall]


f hat an der Stelle <math> x_0\in U </math>
[[Datei:Newquay-hm-2012-2.jpg|miniatur|200px|Kliffküste]]
[[Datei:Newquay-hm-2012-1.jpg|miniatur|200px|Brandungshohlhehle bei Ebbe]]
[[Datei:Newquay-hm-2012-4.jpg|miniatur|200px|Besiedelung der Brandungshohlkehle]]
[[Datei:Newquay-hm-2012-3.jpg|miniatur|200px|Blowing Hole (?)]]
}}


* ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math>  x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;


* ein globales Minimum, wenn <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt;
Orientalische Stadt
{{Aufgaben||2=


* ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass  <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;
[[File:Google Maps.svg|50px]][https://www.google.de/maps?ll=32.474026,3.695923&spn=0.006345,0.008272&t=h&z=17&lci=com.panoramio.all,com.google.webcams Ghardaija/Beni Isguen]


* ein globales Maximum, wenn <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt.
1. [http://www.zum.de/Faecher/Ek/BAY/gym/afrika/africit2.htm Bilder aus Ghardaija/Beni Isguen]<br>
2. [http://www2.klett.de/sixcms/list.php?page=geo_infothek&node=Asien&article=Infoblatt+Die+orientalische+Stadt Klett Sixms]




==Wozu überhaupt Extremwerte? ==
}}
Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw.
== Allgemeines Lösungsverfahren ==


Ein Extremwert einer Funktion tritt immer dort auf, wo die 1. Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle hat und die zweite 2. Ableitung keine Nullstelle besitzt (Alternativ können hier statt der 2. Ableitung auch die Vorzeichen der ersten Ableitung betrachtet werden. Bei Vorzeichenwechsel liegt dann ein Extremwert vor).
=== Aufgaben mit offener Fragestellung, ===


Ist allerdings wie bei praktischen Problemen keine explizite Funktion vorgegeben, sondern nur das Problem formuliert, muss zunächst eine passende Funktion, die Zielfunktion, aufgestellt werden. Hierbei hilft es, sich an folgendes Schema zu halten:
'''Dover - Deal: ---> Kent - Fragmente einer Landschaft'''


'''1. Stelle das Problem in einer Skizze dar'''
Was ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Landschaft Landschaft]?


Eine Skizze hilft, sich die Problemstellung deutlich zu machen. Kennzeichne in der Skizze die bekannten und unbekannten Größen. Überlege dir, welche Größen in der Skizze du noch nicht weißt und ob du diese durch die anderen Größen ermitteln kannst.


'''2. Stelle die Zielfunkion auf'''


Versuche nun, deine Skizze in eine Funktion zu übertragen. Hierbei musst du die Größe, die du maximieren oder minimieren willst, durch die anderen vorhandenen Größen ausdrücken.
* Beiträge von Robert Roseeu [http://satgeo-muenchen.de/info/montagskurs.htm][http://satgeo.zum.de/satgeo/didaktik/wahrnehmung.htm]
* ein eigener Beitrag:[http://www.zum.de/Faecher/Ek/BAY/gym/umsp/main/html/vorwort.html]


'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen'''


Unter Nebenbedingung versteht man einen für die Aufgabe notwendigen Zusammenhang, der nicht direkt aus der Aufgabenstellung hervorgeht. Ist in der Zielfunktion also noch eine Größe, die du nicht kennst, versuche sie durch die anderen gegebenen Größen z.B. mit Hilfe eines geometrischen Zusammenhangs auszudrücken. Am Schluss darf deine Zielfunktion nur noch von einer Größe abhängen.


'''4. Extremwert der Zielfunktion bestimmen'''


Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um eine Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum.
==='''''Vom Großen zum - vom Kleinen zum Großen: Kennenlernen einer Landschaft.'''''===


== Der schräge Wurf ==
{{Idee|1=
Als erstes Beispiel wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht. Hierzu sind natürlich einige Vorüberlegungen zu treffen. Von was hängt die Wurfweite sonst noch ab? Erinnerst du dich an die entsprechenden physikalischen Formeln? Wenn du dich nicht erinnern kannst oder um deine Formeln zu überprüfen, klicke auf Lösung anzeigen! Aber: Vorher nachdenken!
{{Kasten_gelb|Dieses Beispiel wurde noch nicht im Unterricht erprobt. Es soll anregen eigene GoogleMaps-Unterrichtseinheiten zu entwickeln. Zumindest der Lehrer muss natürlich die Gegend kennen und Bild- oder Videomaterial dazu beitragen können. Diese zu erstellen kann sich im Urlaub ergeben. Auch das vorliegende Beispiel wurde erst im Nachhinein entwickelt. Während des eigenen Urslaub wurde daran nicht im geringsten gedacht.


{{Lösung versteckt mit Rand|Entscheidend ist die Zerlegung der Bewegung in eine x- und eine y-Komponente.
Ein Beispiel dieser Art könnte eingesetzt werden:  
Der Ort des Objekts ergibt sich aus dem Anfangsort, der Geschwindikeit in die jeweilige Richtung mal die entsprechende Zeit und die Geschwindigkeitsänderungen (welche über die Beschleunigung ausgedrückt werden) mal die quadratische Zeit:


<math> x(t)=x_{0}+v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{0} \cdot t^2 </math>
* zur Einführung in eine Region oder ein Land.
* zur Vorbereitung einer realen Exkursion.
* zur Nachbereitung einer Klassenfahrt, um die Klassenfahrt zu dokumentieren und auf dem schuleigenen Wiki etwas anderes zu bieten als reine Fotos. }}


Dies müssen wir nun in x- und y-Richtung ausdrücken. In x-Richtung bleibt die Geschwindigkeit (wenn wir die Reibung vernachlässigen) über die ganze Strecke konstant und wir starten am Anfangspunkt 0:
{{Aufgaben||2= '''''Phase 1: Im Plenum'''''<br>
[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=51.136817,1.365566&spn=0.066027,0.110378&t=k&z=13 Luftbild Dover]


<math> x(t)=v_{x} \cdot t </math>


In y-Richtung starten wir ebenfalls am Anfangspunkt 0, allerdings nimmt die Geschwindigkeit mit der Erdbeschleunigung g ab:
1. Welche geographischen Themenbereiche siehtst Du auf dem Luftbild? Fertige eine Mindmap an.


<math> y(t)=v_{y} \cdot t - 1/2 \cdot g \cdot t^2 </math>
{{Lösung versteckt|
<mm>[[Dover.mm|applet|]]</mm>
<small><center>{{Schrift_grün|Durch anklicken der einzelnen "Blätter" öffnen sich Verfeinerungen der Mindmap}} </center></small>
}}<br>
}}
}}
'''''Phase 2: In einzelnen Gruppen am Computer'''''<br>


{{Aufgaben||2=
'''Gruppe Geomorphologie'''


Versuche nun nach dem oben dargestellten Schema vorzugehen, dir also in einer Skizze die Situation zu verdeutlichen und die entsprechenden Größen einzuzeichnen! Wo befindet sich der Winkel <math>\alpha</math>?
2. Zoome nun in das Bild hinein: Basis der Kreidefelsen - eigenartige dunkle Flecke in Feldern und Wiesen. Beschreibe was Du siehst und suche Erklärungen.<br>
 
3. Zoome aus dem Bild heraus: Was befindet sich unmittelbar südwestlich  der Kreidefelsen?  Was ist oberhalb der Kreidefelsen?
{{Lösung versteckt|Skizze:
 
<ggb_applet width="400" height="250" filename="schraeger_Wurf4.ggb" showResetIcon="true" />


<table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0"
style="text-align: left; width: 800;">
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-2.jpg|miniatur|200px|White Cliffs - mit Abrasionsplattform bei Ebbe]]<br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-1.jpg|miniatur|200px|Abbruchkanten und Verschiebungen deuten an, dass die Zurückverlagerung des Kliffs andauert.]]<br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-3.jpg|miniatur|200px|Klüfte senkrecht zur Kliffkante]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-4.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-5.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-6.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-8.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-9.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-10.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-11.jpg|miniatur|200px| ]]<br><br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei:Dover-hm-2012-7.jpg|miniatur|200px| ]]<br>
<br>
      </td>
      <td style="vertical-align: top;">[[Datei: Dover7.jpg|miniatur200px]]<br><br>
      </td>
    </tr>
 
</table>
}}
}}
'''Gruppe Geomorphologie - Geschichte'''


[[Datei:Deal1.jpg]]<br>
<center>Was ist das?</center><br>
[[Datei:Deal2.jpg]]


Als feste Größe ist die Abwurfgeschwindigkeit <math>\vec v_{0}</math> anzusehen. Dies ist die Geschwindigkeit, die du durch deine Wurfbewegung dem Ball in einer bestimmten Richtung mitgibst. Der entscheidende Parameter ist der Winkel <math>\alpha</math>. Kannst du die noch unbekannten Größen mit Hilfe von <math>\vec v_{0}</math> und <math>\alpha</math> ausdrücken?


{{Lösung versteckt mit Rand|Um unsere Gleichungen für x(t) und y(t) aufzustellen benötigen wir die noch unbekannten Größen <math> v_{x} </math> und <math> v_{y} </math> die sich aus der Skizze ablesen lassen:


<math> v_{x}=v_{0} \cdot cos(\alpha) </math> und


<math> v_{y}=v_{0} \cdot sin(\alpha) </math>


}}
'''Gruppe Geschichte'''
 
{{Aufgaben||2=
Nun kannst du die beiden Ortsgleichungen aufschreiben und zu einer Funktionsgleichung umformen. Die Zielfunktion ist dabei die Funktion der Größe, die du maximieren willst. In unserem Fall möchten wir zunächst das Maximum der Wurfweite in Abhängigkeit des Abwurfwinkels bestimmen. Unsere Zielfunktion ist also die Ortsfunktion in x-Richtung. Versuche diese Funktion mit Hilfe der bisherigen Gleichungen aufzustellen.
1. Auf dem Gelände, das unmittelbar an den Strand grenzt in dem untigen Luftbild befindet sich ein Bunker aus dem 2. Weltkrieg zur Beobachtung des Ärmelkanales. '''Suche ihn!''' <br>
 
 
{{Lösung versteckt mit Rand|Durch das Zusammensetzen der obigen Funktion von <math> x(t) </math> und <math> v_{x}(t) </math> ergibt sich folgender Zusammenhang:
 
<math> x(t)=v_{x}(t) \cdot t = v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot t </math>


<center>
{{#widget:Google Maps
|key=
|maptype=satellite
|width=700
|height=600
|lat=51.249614
|lng=1.39595
|maptypecontrol=yes
|largemapcontrol=yes
|overviewmapcontrol=yes
|scalecontrol=yes
|zoom=14
|hierarchicalmaptypecontrol=yes
}}
}}
</center>


Nun musst du dir klar werden, welche Größen du darstellen willst! In unserem Fall: Wurfweite x in Abhängigkeit des Wurfwinkels <math> \alpha </math>. Steht dies schon da? Oder steht in der Funktion eine Variable, die stört bzw. nicht gegeben ist? Dann musst du diese Variable durch deine eigentlich interessanten Größen ausdrücken, oder anders gesagt, eine Nebenbedinung formulieren.


{{Lösung versteckt|Er befindet sich rund 40 m östlich der Straße und ist sechseckig}}


{{Lösung versteckt mit Rand|Störend ist bei uns noch die Variable t. Wir interessieren uns ja nur für den Zeitpunkt, an dem der Ball/Stein oder ähnliches wieder auf dem Boden aufkommt. Dies ist genau der Zeitpunkt, bei dem unsere zweite Ortsfunktion y(t) (also die Höhe) wieder 0 ist. Als Funktion:
[[File:Dover castle.JPG|links|265px]]
2. Informiere Dich über die Bedeutung von Dover Castle im Mittelalter und in der Zeit des 2. Weltkrieges!<br>


<math> y(x)=v_{y}(t) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v_{0}(t) \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 =0 </math>
*[http://www.english-heritage.org.uk/daysout/properties/dover-castle/exploremap/ Englisch Heritage (Org]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Dover_Castle En-Wikipedia]
um t zu elimieren, müssen wir diese Gleichung nach t auflösen. Etwas anders sortiert lässt sich die Gleichung auch schreiben als
*[http://www.dover-castle-friends.org/ The Friends of Dover Castle]
 
*[http://www.theheritagetrail.co.uk/castles/dover%20castle.htm The Heritage Trail]
<math> 0 = \underbrace{- \frac{1}{2} \cdot g}_{a} \cdot t^2 + \underbrace{v_{0}(t) \cdot sin(\alpha)}_{b} \cdot t = a \cdot t^2 + b \cdot t = 0</math>
 
Dies ist eine einfache quadratische Gleichung, die sich mit der Mitternachtsformel lösen lässt:
 
<math> t_{1/2}=\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha)\pm \sqrt{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2+4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 0}}{-g} </math>
 
 
<math> \qquad =\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha) \pm v_{0} \cdot sin(\alpha)}{-g} </math>
 
 
<math> \Rightarrow t_{1} = 0 \qquad und \qquad t_{2} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} </math>
 
Wir erinnern uns, dass <math> t_{1} </math> und <math> t_{2} </math> jeweils die Zeiten sind, an denen die Höhe des Wurfobjekts 0 ist. Dies ist logischerweise zur Zeit 0 der Fall, was unserer Lösung <math> t_{1} </math> entspricht. Die für uns interessante Lösung ist allerdings <math> t_{2} </math>, also die Zeit, wenn das Wurfobjekt nach dem Wurf wieder am Boden ist.
 
Mit dieser Information über t können wir t nun in unserer Ortsfunktion x(t) elimieren.


3. Mache mit Google Street View einen virtuellen Rundgang durch das Castle of Dover. <br>


[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps[http://maps.google.de/maps?q=Dover+Castle&hl=de&ll=51.128536,1.322973&spn=0.004747,0.008272&sll=51.136817,1.365566&sspn=0.075505,0.132351&t=k&hq=Dover+Castle&z=17 Dover Castle ]


}}
}}




'''Gruppe Literatur''' im '''Kontakt mit der Geographie - Geschichte''' <br>


[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?q=Canterbury+Cathedral&hl=de&ll=51.278535,1.080115&spn=0.009409,0.016544&sll=51.278374,1.079535&sspn=0.009409,0.016544&t=k&hq=Canterbury+Cathedral&radius=15000&z=16 Canterbury]<br>
{{Aufgaben||2=


Versuche eine Nebenbedingung zu formulieren, die den nötigen Zusammenhang liefert.
[[Datei:Canterbury1.jpg|265px]].[[Datei:Canterbury2.jpg|150px]].[[Datei:Canterbury3.jpg|150px]].[[Datei:Canterbury4.jpg|265px]]<br>
<center><small>Die Bilder lassen sich einzeln vergrößern</small></center>
<br>
[[File:CHAUCER Hengwrt.jpg|links|265px||]][[File:Hawei's Dorigen .jpg|links|265px|]]


==Dritte Überschrift ==
1. Wiederhole Merkmale einer mittelalterlichen Stadt und erläutere sie anhand des GM-Luftbildes.<br> Erläutere weitere Stadtentwicklungsphasen.<br>


==Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Acker neben Straße==
*[http://wikis.zum.de/rsg/Stadtgeographie#Entwicklung Die Entwicklung der europäischen Stadt]


{{Aufgabe|
<br><br>
Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage
2. Erkläre anhand des GM-Luftbildes und der obigen Photos Merkmale einer gotischen, speziell einer englischen,  Kathedrale. <br><br>
3. Informiere dich über die Geschichte und die Bedeutung der Kathedrale von Canterbury!<br>


(a.) 1000m
* [http://www.canterbury-cathedral.org/history.html Canterbury-Cathedral.org]<br>


(b.) 100m.  
4. Canterbury ist auch bekannt durch seine "''''''Canterbury Tales''''''". Informiere Dich:<br><br>


Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?}}
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Canterbury_Tales '''Englisch'''! genaue Informationen]
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Canterbury_Tales Deutsch - Links zur Deutschen Digitalen Bibliothek]
<br>


}}


                  Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!
<br>
'''''Phase 3: Präsentation der Ergebnisse <br>'''''


 




[[Bild:AckerStraße.jpg]]
}}




An der richtigen Stelle integrieren:


                    Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:
{{Aufgaben||2=


[[File:Google Maps.svg|50px]] [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=51.21926,1.404228&spn=0.002369,0.004136&t=k&z=18&lci=weather  Deal Castle]
[[Datei:Deal5.jpg|miniatur|200px]]
1. Beschreibe den Aufbau und die Lage von Deal Castle(GM)!<br>
2. Mache mit Google Streetview einen virtuellen Rundgang um und durch Deal Castle.<br>


'''1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar''':
[[Datei:Deal6.jpg|miniatur|200px]]
3. Diese (Bild rechts) eigenartige Küstenbefestigung befindet sich am Nordrand von Deal und genau am Südrand des Royal Kings Golfplatzes. Was könnte das sein?


Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Deal-hm-2012.jpg|600px]]


[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Skizze "Acker neben Straße"|Skizze "Acker neben Straße"]]
Informiere Dich über Sandown Castle und lies nach Vergrößern den Text dem Bild! 
}}
4. Informiere Dich über die historische Bedeutung der Castles an der Südostküste von Kent. [http://www.castleuk.net/castle_lists_south/south.htm]  


 
}}
'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' :
 
Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
 
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion|Zielfunktion]]
 
 
'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a)''':
 
Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.
 
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion mit Nebenbedingung|Zielfunktion mit Nebenbedingung]]
 
 
'''4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):'''
 
Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.
 
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Extremwertbestimmung|Extremwertbestimmung]]
 
 
 
 
{{mitgewirkt|* <Ihr Name>}}
 
 
[[Kategorie:Kurvendiskussion]]

Version vom 4. Januar 2013, 17:53 Uhr

Geomorphologie

Für geomorphologische Veranschaulichungen eignet sich Google xxxx besser, da hier 3D-Ansichten erzeugt werden können. Trotzdem sollen hier einige Beispiele vorgestellt werden.


Britische Küstenlandschaften im Verbund mit Fotos


Aufgabe

Google Maps.svg Maps Kliffküste bei Newquay/Cornwall

Kliffküste
Brandungshohlhehle bei Ebbe
Besiedelung der Brandungshohlkehle
Blowing Hole (?)


Orientalische Stadt

Aufgabe

Google Maps.svgGhardaija/Beni Isguen

1. Bilder aus Ghardaija/Beni Isguen

2. Klett Sixms


Aufgaben mit offener Fragestellung,

Dover - Deal: ---> Kent - Fragmente einer Landschaft

Was ist Landschaft?


  • Beiträge von Robert Roseeu [1][2]
  • ein eigener Beitrag:[3]



Vom Großen zum - vom Kleinen zum Großen: Kennenlernen einer Landschaft.

Unterrichtsidee

Dieses Beispiel wurde noch nicht im Unterricht erprobt. Es soll anregen eigene GoogleMaps-Unterrichtseinheiten zu entwickeln. Zumindest der Lehrer muss natürlich die Gegend kennen und Bild- oder Videomaterial dazu beitragen können. Diese zu erstellen kann sich im Urlaub ergeben. Auch das vorliegende Beispiel wurde erst im Nachhinein entwickelt. Während des eigenen Urslaub wurde daran nicht im geringsten gedacht.

Ein Beispiel dieser Art könnte eingesetzt werden:

  • zur Einführung in eine Region oder ein Land.
  • zur Vorbereitung einer realen Exkursion.
  • zur Nachbereitung einer Klassenfahrt, um die Klassenfahrt zu dokumentieren und auf dem schuleigenen Wiki etwas anderes zu bieten als reine Fotos.


Aufgabe

Phase 1: Im Plenum
Google Maps.svg Maps Luftbild Dover


1. Welche geographischen Themenbereiche siehtst Du auf dem Luftbild? Fertige eine Mindmap an.

<mm>applet|</mm>

Vorlage:Schrift grün

Phase 2: In einzelnen Gruppen am Computer


Aufgabe

Gruppe Geomorphologie

2. Zoome nun in das Bild hinein: Basis der Kreidefelsen - eigenartige dunkle Flecke in Feldern und Wiesen. Beschreibe was Du siehst und suche Erklärungen.
3. Zoome aus dem Bild heraus: Was befindet sich unmittelbar südwestlich der Kreidefelsen? Was ist oberhalb der Kreidefelsen?

White Cliffs - mit Abrasionsplattform bei Ebbe
Abbruchkanten und Verschiebungen deuten an, dass die Zurückverlagerung des Kliffs andauert.
Klüfte senkrecht zur Kliffkante
Dover-hm-2012-4.jpg


Dover-hm-2012-5.jpg


Dover-hm-2012-6.jpg


Dover-hm-2012-8.jpg


Dover-hm-2012-9.jpg


Dover-hm-2012-10.jpg


Dover-hm-2012-11.jpg


Dover-hm-2012-7.jpg


miniatur200px

Gruppe Geomorphologie - Geschichte

Deal1.jpg

Was ist das?

Deal2.jpg



Gruppe Geschichte

Aufgabe

1. Auf dem Gelände, das unmittelbar an den Strand grenzt in dem untigen Luftbild befindet sich ein Bunker aus dem 2. Weltkrieg zur Beobachtung des Ärmelkanales. Suche ihn!


Er befindet sich rund 40 m östlich der Straße und ist sechseckig
Datei:Dover castle.JPG

2. Informiere Dich über die Bedeutung von Dover Castle im Mittelalter und in der Zeit des 2. Weltkrieges!

3. Mache mit Google Street View einen virtuellen Rundgang durch das Castle of Dover.

Google Maps.svg MapsDover Castle


Gruppe Literatur im Kontakt mit der Geographie - Geschichte

Google Maps.svg Maps Canterbury

Aufgabe

Canterbury1.jpg.Canterbury2.jpg.Canterbury3.jpg.Canterbury4.jpg

Die Bilder lassen sich einzeln vergrößern


Datei:CHAUCER Hengwrt.jpg
Datei:Hawei's Dorigen .jpg

1. Wiederhole Merkmale einer mittelalterlichen Stadt und erläutere sie anhand des GM-Luftbildes.
Erläutere weitere Stadtentwicklungsphasen.



2. Erkläre anhand des GM-Luftbildes und der obigen Photos Merkmale einer gotischen, speziell einer englischen, Kathedrale.

3. Informiere dich über die Geschichte und die Bedeutung der Kathedrale von Canterbury!

4. Canterbury ist auch bekannt durch seine "'Canterbury Tales'". Informiere Dich:




Phase 3: Präsentation der Ergebnisse



An der richtigen Stelle integrieren:


Aufgabe

Google Maps.svg Deal Castle

Deal5.jpg

1. Beschreibe den Aufbau und die Lage von Deal Castle(GM)!
2. Mache mit Google Streetview einen virtuellen Rundgang um und durch Deal Castle.

Deal6.jpg

3. Diese (Bild rechts) eigenartige Küstenbefestigung befindet sich am Nordrand von Deal und genau am Südrand des Royal Kings Golfplatzes. Was könnte das sein?

Deal-hm-2012.jpg

Informiere Dich über Sandown Castle und lies nach Vergrößern den Text dem Bild!

4. Informiere Dich über die historische Bedeutung der Castles an der Südostküste von Kent. [4]
Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Anwendungsbezogene_Extremwertaufgaben&oldid=79375“