Einführung in quadratische Funktionen/Bremsbeschleunigung und Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Seiten

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]]</div>
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==


== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==
Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.


Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten <span style="color: red">"Bremsbeschleunigung"</span> zum Ausdruck.
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.


In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br />
{| cellspacing="10"
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|- style="vertical-align:top;"
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=
<math>s=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math>
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.  
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²).
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
 
#* Definitionsbereich
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br />
#* Symmetrie
''Hinweis:'' Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.
#* Monotonie
 
#* größte und kleinste Funktionswerte
<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 
:{{Lösung versteckt|
<span style="color: red">in ggb: Achsenbeschriftungen, Hinweis auf Pfeiltasten</span>
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
 
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
 
<br />&nbsp;
 
{{Arbeiten|  
NUMMER=1|
ARBEIT=
Wie muss a gewählt werden, damit ...<br />
a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br />
b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br />
c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?
}}
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="W2_xm1n.ggb" />
|}


<span style="color: red">fehlt Lösung</span>
<!--{{ggb|W2_xm1n.ggb|datei}}-->
&nbsp;
<span style="color: red">fehlt Übergang</span>
{{Arbeiten|  
NUMMER=2|
ARBEIT=
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird?
<span style="color: red">fehlt Lösung, Aufgabe erst später stellen</span>
}}
 
== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==
 
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="370"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br />
Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: red">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.
{{Arbeiten|
NUMMER=3|
ARBEIT=
Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...<br />
:... a negativ ist?<br />
:... a zwischen 0 und 1 liegt?<br />
:... a größer als 1 ist?<br />
Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².
}}
|align = "right"|&nbsp;
|align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" />
<span style="color: red">Achsenbeschriftungen</span>


|}
=== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ===


{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:
:''Für eine reelle Zahl <math>a</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> wird definiert:''
:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>


Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
:<font style="vertical-align:-10%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}.</math>


<br />


----
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
filename="9_xminuas1n.ggb" />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du, <span style="color: color">was es mit dem "Anhalteweg" auf sich hat.</span>'''Später!!!<br />  
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
<br><br>


----
&nbsp;


{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="10_axminuas1nc.ggb" />

Version vom 28. Januar 2009, 17:11 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Vorlage:Arbeiten
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
für

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:


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