Erweitern von Brüchen und Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Seiten
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | |||
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | |||
Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>. | |||
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=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | |||
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|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
# Verleiche den neuen Graphen mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. | |||
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
= | }}<br> | ||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="7_x1n_w.ggb" /> | |||
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. | {{ggb|7_x1n_w.ggb|datei}} | ||
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n. | |||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="7_x1n.ggb" /> | |||
== Potenzen und Wurzeln == | |||
< | Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt ''Wurzelfunktion''. | ||
< | Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt: | ||
< | |||
< | <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> | ||
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über: | |||
<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math> | |||
Beispiele: | |||
== | * <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>, aber | ||
=== | * <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert. | ||
* <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch | |||
=== | |||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="8_ax1nc.ggb" /> | |||
== Definitionsbereich der Wurzelfunktionen == | |||
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ==== | |||
Offenbar kann man zum Beispiel wegen | |||
* <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3</math>, und | |||
* <math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math> | |||
die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. | |||
Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik: | |||
* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math> | |||
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | |||
== | <math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | ||
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | |||
Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass | |||
{{ | <math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR. |
Version vom 25. Januar 2009, 10:57 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.
Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
Beispiele:
- , aber
- , nicht definiert.
- , aber auch
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar kann man zum Beispiel wegen
- , und
die Wurzelfunktionen zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.
Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass
. Dann gilt: IDg = IR.