Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion und Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Seiten

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==Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion==
{{Babel-1|M-digital}}
Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> zu einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math> bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies zu umständlich bzw. im allgemeinen Fall zu schwierig für einen Grundkurs ist. <br>
{{Kasten blass|
Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen <math>f(x)</math> die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen. <br>
Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Anhand der gefundenen Funktionen <math>F(x)</math> sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken. <br>
;Hinweis
Aber nun zur Aufgabe:
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Links klickst.}}
{{Aufgaben-M|8|
 
In unterem Geogebra-Applet siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> in blau gezeichnet und denjenigen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion in rot. <br>
== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
Gib nun die Funktionsvorschrift einer neuen Funktion <math>f(x)</math> in der Eingabezeile des Geogebra-Applets ein, der Graph der neuen Flächeninhaltsfunktion wird automatisch gezeichnet und die Funktionsvorschrift angezeigt. <br>
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node3.htm hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.
Notiere Dir so lange in einer tabellarischen Gegenüberstellung die Funktionsterme von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> bis Du einen Zusammenhang erkennst. Welchen?
 
# <math>f(x) = 7x</math>
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.
# <math>f(x) = 3x^5 + 4</math>
 
# <math>f(x) = x^2 - 3x + 2</math>
=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
# <math>f(x) = 8</math>
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
# <math>f(x) = 0</math>
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
# <math>f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 2</math>
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
# Denke Dir weitere Funktionen selbst aus!
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]?
 
=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] auch den Winkel:
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?
 
=== Farne ===
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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TIPP: Wenn Dir die Kommazahlen, die Geogebra anzeigt, Schwierigkeiten bereiten, dann schreibe sie in naheliegende Brüche um!
}}
<br>
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="450" width="550" useLocalJar="true" showResetIcon="true" showAlgebraInput="true" filename="stammfkt_ermitteln.ggb" />
</div>
<br>
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# <math>F(x) = \frac{7}{2} \ x^2</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{2} \ x^6 + 4x</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3 - \frac{3}{2} \ x^2 + 2 x</math>
# <math>F(x) = 8 x</math>
# <math>F(x) = 0</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{5} \ x^5 - \frac{3}{4} \ x^4 + \frac{2}{3} \ x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2 x</math>
<br>
<br>
Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist jeweils gleich der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math>. Es gilt: <math>F \ '(x)= f(x)</math>.
<br>  
}}}}
<br><br><br>
<div align="center">
[[Benutzer:Dickesen/Integral6|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral7|>>Weiter>>]]
</div>
<br>
<br>
{{Kastendesign1|
<br>
BORDER = cornflowerblue|
<br>
BACKGROUND = cornflowerblue|
<br>
BREITE =100%|
<br>
INHALT=
<br>
[[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral|Einführendes Beispiel]] &nbsp; &#124;  &nbsp;[[Benutzer:Dickesen/Integral2|Vorüberlegungen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral3|Ober- und Untersumme]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral4|Flächen bestimmen]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral5|Bestimmtes Integral]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral6|Flächeninhaltsfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
<br>
[[Benutzer:Dickesen/Integral7|Stammfunktion]] &nbsp; &#124; &nbsp;
 
[[Benutzer:Dickesen/Integral8|Aufgaben]] &nbsp; &#124; &nbsp;
=== Weitere Informationen ===
[[Benutzer:Dickesen/Integral9|Hauptsatz]] &nbsp; &#124; &nbsp;
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
[[Benutzer:Dickesen/Integral10|Integrationsregeln]] &nbsp; &#124; &nbsp;
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
[[Benutzer:Dickesen/Integral11|Aufgaben II]]
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
|
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
BILD=Erioll_world.png‎|24px|
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
ÜBERSCHRIFT=<div align="center">Navigation</div>|
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
}}
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
Anwendungen<br>
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]
 
== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*[[Media:Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2]]
*[[Media:Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung]]
'''Weitere Links'''
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]
 
== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf}} Arbeitsblätter
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf}} Lösung
'''Weitere Links'''
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]
Maria Eirich und Andrea Schellmann, 21.07.2006

Version vom 30. Januar 2007, 22:03 Uhr

Vorlage:Babel-1 Vorlage:Kasten blass

Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv

Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.

Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.

Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel

Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:

  • Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
  • Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
  • Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
  • Woher kommt der Name Pythagorasbaum?

Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel

Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:

  • Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
  • Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
  • Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?

Spielen im pythagoräischen Garten

Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?

Farne

Farn

Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.

















Weitere Informationen

Anwendungen

Kurs 2: Drachenfalten einmal anders

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Kurs 3: Dreimal Sierpinski

Arbeitsblätter mit Lösungen

  • Pdf20.gif 1 Arbeitsblätter
  • Pdf20.gif 1 Lösung

Weitere Links 

Maria Eirich und Andrea Schellmann, 21.07.2006
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