Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Florian Bogner
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=Wiederholung: an Vorwissen anküpfen=
= Zufallsexperimente =


{{Hintergrund_orange|Motivation}}  
{{Aufgaben-M|1|Weißt du noch, was genau ein {{Hintergrund_gelb|Zufallsexperiment}} ist? Schreibe es in dein Heft.}}


==Zufallsexperimente==
Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
 
Weißt du noch, was genau ein Zufallsexperiment ist?
 
Versuche dich zu erinnern und schreibe eine gute Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf dein Blatt!
 
Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.


''Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen:''  
''Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen:''  
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{{Aufgaben-M|1|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente:}}
{{Aufgaben-M|2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
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</div>
</div>


{{Aufgaben-M|2|Ann wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment Münzwurf fest.
 
{{Aufgaben-M|3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment Münzwurf fest.
}}
}}


''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>


==Ergebnis und Ereignis==
= Ergebnis und Ereignis =


an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
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In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
    
    
{{Aufgaben-M|3|Würfelwurf: Ordne den Begriffen die richtigen Schreibweisen zu! <br!> ''(Funktioniert nur, wenn unter Einstellungen PNG als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen eingestellt und HTML ausgeschaltet ist!)''
{{Aufgaben-M|4|Ordne den folgenden Begriffen die richtigen Schreibweisen zu! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
 
''(Dieses Quiz funktioniert leider nur, wenn unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen eingestellt und HTML ausgeschaltet ist!)''


hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
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*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.


*;Ergebnismenge (auch Ergebnisraum oder Grundraum):Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet man mit <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
*;Ergebnismenge (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum):Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet man mit <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.


*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiment in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiment in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
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{{Aufgaben-M|4|Gib für die folgenden vier Zufallsexperimente einen geeigneten Ergebnisraum <math> \Omega </math> an und bestimme jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math>:
 
{{Aufgaben-M|5|Gib für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} <math> \Omega </math> an und bestimme jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math>:


(a) Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.
(a) Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.
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''Hier findest du eine kleine Hilfe:''
''Hier findest du eine kleine Hilfe:''
{{versteckt|Der Ergebnisraum ist eine Menge. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die in der Menge enthalten sind. Hier ist also die Anzahl der Elementarereignisse gesucht. Der Ergebnisraum sollte fein sein, das heißt möglichst viele Elemente enthalten.
{{versteckt|Der Ergebnisraum ist eine Menge. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die in der Menge enthalten sind. Hier ist also die Anzahl der Elementarereignisse gesucht. Der Ergebnisraum sollte fein sein, das heißt möglichst viele Elemente enthalten. Zähle die Elemente!
}}
}}


{{Aufgaben-M|6|'''(a)''' Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
{{Aufgaben-M|6|'''(a)''' Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
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}}
}}


{{Lösung versteckt|}}


== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
= Laplace-Wahrscheinlichkeit =


Wenn wir von einem Würfel sprechen, meinen wir in der Regel einen {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1,2,3,4,5 oder 6 gewürfelt wird. Der Würfel ist also fair!
{{Kasten_gelb|<big>→ Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?</big>


 
'''„Racing Game with One Dice“''' ist ein englischsprachiges Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.
{{Kasten_gelb|Hast du Lust auf eine kleines Wettspiel zu zweit? [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice] ist ein Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.
* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
* Öffne den Link in einem neuen Fenster (Rechtsklick oder Strg+klick!).
* Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
* Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
* Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
* Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
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** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
** Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen. <br!> „Race!“}}
** Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
 
Los geht's!
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice]}}
 
 
{{Aufgaben-M|7|Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?}}
 
{{Lösung versteckt|Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt ist ein {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.
 
Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit  <math>\frac{1}{6}</math> gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair.
 
Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?}}
 




Version vom 2. September 2009, 07:43 Uhr

Zufallsexperimente

Vorlage:Aufgaben-M

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen: Vorlage:Versteckt


Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)


Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen

  • Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
  • Zählprinzip (Produktregel)
  • Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->

Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache. In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Vorlage:Aufgaben-M

Ergebnis
Ereignis
Elementarereignis
Ergebnismenge
Gegenereignis
unmögliches Ereignis
Mächtigkeit des Ergebnisraums


Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt


Vorlage:Aufgaben-M

Hier findest du eine kleine Hilfe: Vorlage:Versteckt


Vorlage:Aufgaben-M

Laplace-Wahrscheinlichkeit

→ Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?

„Racing Game with One Dice“ ist ein englischsprachiges Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.

  • Öffne den Link in einem neuen Fenster.
  • Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
  • Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
  • Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br!> Beim nächsten Rennen könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
    • Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
    • Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
    • Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.

Los geht's!

Vorlage:Rechtsklick Fenster Racing Game with One Dice


Vorlage:Aufgaben-M

Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt ist ein Vorlage:Hintergrund gelb, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen Vorlage:Hintergrund gelb. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair.

Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?



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