Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Versionen

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< Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen

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-= Zufallsexperimente =
+== Zufallsexperiment ==
 {{Aufgaben-M|1|Weißt du noch, was genau ein {{Hintergrund_gelb|Zufallsexperiment}} ist? Schreibe es in dein Heft.}}
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 (Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels)  (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch)  (!Benotung deiner Klassenarbeit)  (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
 </div>
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 ''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
-= Ergebnis und Ereignis =
+== Ergebnis und Ereignis ==
 an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
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 In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
-{{Aufgaben-M|4|Ordne den folgenden Begriffen die richtigen Schreibweisen zu! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
+{{Aufgaben-M|4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
 ''(Dieses Quiz funktioniert leider nur, wenn unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen eingestellt und HTML ausgeschaltet ist!)''
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-{{Aufgaben-M|5|Gib für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} <math> \Omega </math> an und bestimme jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math>:
+{{Aufgaben-M|5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} <math> \Omega </math>.
+Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
+<quiz display="simple">
+{ Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
+- 8
++ 12
+- 36
+{ Es wird dreimal gewürfelt. }
+- 18
+- 56
++ 216
+{ Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
+- 18
+- 54
+- 72
++ 288
-(a) Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.
+{ Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
-(b) Es wird dreimal gewürfelt.
+- 9
++ 27
+- 72
-(c) Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.
+</quiz>
-(d) Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.
+''Lösungshinweise:''
+{{versteckt|
+* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
+* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
+* <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
+* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
 }}
-''Hier findest du eine kleine Hilfe:''
-{{versteckt|Der Ergebnisraum ist eine Menge. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die in der Menge enthalten sind. Hier ist also die Anzahl der Elementarereignisse gesucht. Der Ergebnisraum sollte fein sein, das heißt möglichst viele Elemente enthalten. Zähle die Elemente!
+{{Aufgaben-M|6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+:<math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
+b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
 }}
+''Lösungshinweise:''
+{{versteckt|a)
+* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 1=2^0\ \mathrm{Ereignis.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 2=2^1\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4=2^2\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 8=2^3\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 16=2^4\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
-{{Aufgaben-M|6|'''(a)''' Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+Das vermutete Gesetz lautet: {{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>}}
-<math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
-'''(b)''' Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
+b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ Ereignisse.</math>
 }}
-{{Lösung versteckt|}}
+== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
-= Laplace-Wahrscheinlichkeit =
+{{blau|Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?
-{{Kasten_gelb|<big>→ Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?</big>
+----
-'''„Racing Game with One Dice“''' ist ein englischsprachiges Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.
+'''„Racing Game with One Dice“''' ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite. Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
 * Öffne den Link in einem neuen Fenster.
-* Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
+* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
-* Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
+* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
-* Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br!> Beim nächsten Rennen könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
+* Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br> Jetzt könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
 ** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
 ** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
-** Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
+** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
-Los geht's!
+Los geht's! (dazu benötigst du Java)
 {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice]}}
-{{Aufgaben-M|7|Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?}}
+{{Aufgabe|Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?}}
+{{Lösung versteckt|Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt, ist ein {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.
-{{Lösung versteckt|Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt ist ein {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.
+Das weißt du schon: Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}}, dass ein Ereignis E eintritt, ist die Anzahl der für E günstigen Ergbnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse <math>p(E)=\frac{\left| E \right|}{\left| \Omega  \right|}</math>
 Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit  <math>\frac{1}{6}</math>  gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair.
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 Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?}}
+[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|200px]]
+{{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Mathematiker zur Zeit Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
+{{Aufgaben-M|7|Anna würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
+{{Lösung versteckt|
+<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
+<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
+<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}</math>.
+}}
+{{Aufgaben-M|8|Pia spielt Kniffel. Dabei wirft sie fünf Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender
+Ereignisse:
+a) E1: nur Sechsen liegen oben
+b) E2: keine Sechs liegt oben
+c) E3: mindestens eine Sechs liegt oben
+d) E4: jede der Zahlen von eins bis sechs liegt oben
+}}
+Dazu Bild einfügen (Wiki: Kniffel) oder Aufgabe weglassen!
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-[[Benutzer:Florian Bogner/Zufallsexperimente_Bogner/Übung1| <big> → Weiter zum „Drei-Würfel-Problem“! </big> ]]
+[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Drei-Würfel-Problem| <big> → Weiter zum </big> ]] <colorize>Drei-Würfel-Problem!</colorize>

Version vom 3. September 2009, 08:13 Uhr

Zufallsexperiment

Vorlage:Aufgaben-M

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen

Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
Zählprinzip (Produktregel)
Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->

Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache. In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Vorlage:Aufgaben-M

Ergebnis	$\omega_i$	$6$
Ereignis	$E$	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
Ergebnismenge	$\Omega$	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left\| \Omega \right\|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	18
	54
	72
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?

„Racing Game with One Dice“ ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite. Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.

Öffne den Link in einem neuen Fenster.
Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
Klickt nun im oberen Kasten so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt!
Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen.
Jetzt könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
- Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
- Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
- Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.

Los geht's! (dazu benötigst du Java)

Vorlage:Rechtsklick Fenster Racing Game with One Dice

Aufgabe

Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?

Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt, ist ein Vorlage:Hintergrund gelb, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

Das weißt du schon: Die Vorlage:Hintergrund gelb, dass ein Ereignis E eintritt, ist die Anzahl der für E günstigen Ergbnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse $p(E)=\frac{\left| E \right|}{\left| \Omega \right|}$

Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen Vorlage:Hintergrund gelb. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair.

Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) war ein Mathematiker zur Zeit Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.