Main>Roland Weber |
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| Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
| | {{Box|1=Lernpfad|2= |
| | Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. |
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| == Einstiegsaufgaben ==
| | Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. |
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| ===== Blumenvase =====
| | Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie '''mittlere und momentane Änderungsrate''', '''Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient''' und '''Ableitung''' kennen. |
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| | Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. |
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| In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
| | Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. |
| <math>h(t)=0,001(t+8)^3</math>
| | [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]] |
| | |3=Lernpfad}} |
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| Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
| | {{Einführung in die Differentialrechnung}} |
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| ===== Barringer-Krater =====
| | Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben. |
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| [[Datei:Meteor.jpg|400px]]
| | '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber |
| | {{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}} |
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| In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
| | [[Kategorie:Differentialrechnung]] |
| | | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
| | [[Kategorie:Mathematik]] |
| <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0<=x<=300</math>
| | [[Kategorie:Sekundarstufe 2]] |
| | | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| ''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin''
| | [[Kategorie:Analysis]] |
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| Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| == Durchschnittliche Änderungsrate ==
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| ===== Blumenvase =====
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| <ggb_applet width="1355" height="606" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?<br>
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| ...
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| == Sekantensteigung ==
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| ===== Barringer-Krater =====
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| Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man ''Sekante''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die Sekantensteigung.
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| {{Aufgaben-M|1|
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| Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind:
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| x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub> und f(x<sub>1</sub>)-f(x<sub>0</sub>)
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| ''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
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| }}
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| <br><br>
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <br><br>
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| In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
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| {{Aufgaben-M|2|
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| Nähern sie den Punkt B immer dem Punkt A. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.
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| :{{Lösung versteckt|1= Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.
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| {{Kasten_blau|
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| Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''.
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| ''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.''
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| }}
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| {{Aufgaben-M|3|
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| Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.
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| * Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und C(1,5;f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 3.
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
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| * die Steigung ist (ungefähr) 2.
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|4|
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| * Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.
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| * Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.
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| * Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
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| {{Kasten_blau|
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| Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
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| }}
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| }}
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| Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| {{Aufgaben-M|5|
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| Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x<sub>0</sub>+h, f(x<sub>0</sub>+h)
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| f(x<sub>0</sub>+h)-f(x<sub>0</sub>) zu finden sind.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|6|
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| gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
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| Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=\frac{1}{10^n}</math> mit n gleich 1, 2, 3,...)
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| ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
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| Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben.
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| }}
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| {{Aufgaben-M|7|
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| * ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
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| * ''irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung''
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| }}
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| == Differenzenquotient ==
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| Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
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| Plenumsphase?
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| Möglicher Inhalt:
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| Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
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| == Differentialquotient ==
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| {{Kastendesign1|
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| BORDER = #97BF87|
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| BACKGROUND = #AADDAA|
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| BREITE =100%|
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| INHALT= Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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| ÜBERSCHRIFT=Information|
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| }}
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| <br><br>
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| <ggb_applet width="650" height="800" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAPmuW0MAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICAD5rltDAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbOVba2/bOBb93PkVhDEYtNg4JilSj47dQdIm2QLpdIBkF4OddgeyRNtqZEmV5MTuTP/7XpKSX/I7ceJ2iyaUxCuS95z7ICmm+cuwH6JbkWZBHLVq5BjXkIi82A+ibqs2yDt1u/bLqx+aXRF3RTt1USdO+27eqjEpGfitmmsyx2C8U7c836kzz/TrjuVZdZ9QQnHHdZhp1BAaZsHLKP7V7YsscT1x5fVE372MPTdXHffyPHnZaNzd3R2XXR3HabfR7baPh5lfQzDMKGvViouX0NzMS3eGEqcYk8bv7y518/UgynI38kQNSRUGwasfnjXvgsiP79Bd4Oc9UJjaoEdPBN0eKOVYZg01pFQCiCTCy4NbkcG7U7dK6byf1JSYG8n6Z/oKhWN9asgPbgNfpK0aPqYGMyxeQ3EaiCgvJEjRU6Nso3kbiDvdmLxS/bAayuM4bLuyHfT334hiitGRLIguKBSmqauwfoYNXVBdMF1wLcP060yLMi3DtAwDom6DLGiHolXruGEGwAVRJwXSxvdZPgqFGk/xYKIzOQKdsuALCBsYUNVIw3OMj+SPCT9MVjRmlSRTvebpYMtOyy4JNenmfdJ7aWqs1JPyJXqaKzrVim+kKJ/qE7pS/9VPpUdjlZrzPer7+3VoskdRsdkofaVZuAfKelK2MJ9c9DPpMIaDuCPtniAOzmFaYOYcEQcKiyJwB0Q4YhxuiY1MWVrIsKCCIQPZSMoRAynv4Db8YpZqzEQcGpNPLXBKRKAjhriBiHIqhsCVkHJMcFJqgATniMNLsntCZROGiZgJd4aNGIxR+qRFQNCAF+EeuqfIIMiQLxMLUROZsj3CpK+bthw6NEmRiZFJZIPg1uDS2p1B3kaG1KaMZkGUDPIZiLy+X17mcTLmAqQhIE2CnQ5QM7HwWTN02yKE/HAlmUTo1g2lR6iOOnGUo7FD6mfd1E16gZddiTyHtzL0yb11L91cDM9BOiv7VrJeHGW/pXH+Og4H/ShDyItDPB5zHJKpazoeNdwYUxVsuoJPVZhT19bCfmOoQYNMQP9xmpXiru+/lRKT0ABIvo/C0Wkq3JskDmbVaDZUqmmKgRcGfuBG/wZjlb1IXNAk88h4VWYey3HKkcSpfzXKwITR8D8ijcEBzGODYIcRm2DODC5TyaioMsxjB1sQzm2DYhtG5rnS9YhtH5umg20MaYAz6ZajosqyjrnNiUMdk2KOHVv3K27H/LhDMVa9m0q3LtSWN2+z0zicPFLKv3aTfJCqGQNExlRqdBJ1Q6EMRMVaSMfeTTseXmnLMHRb16ME7rAeQLurQEcQGCgHDbtF2dalkpEjG0thJYOVBC5NLfDH9aCiklBlW5dKCmxXD63QlJRqElx2E2QqnOHajNMow5e5fRAF+WV5kwfeTaEp0fK/DvptMTaf2SbJAzXZbMyZV/NGpJEIC2sGJgfxINPOOWXovvCCPtzqigIQV5L1LxiAfuqLbirKcYdqLqbhUrV42k4rj1VT52ncfxvdXoMlzA2g2ShH2cy8NEikwaE2ZIAbMbEpP8hcSCD+9HvS/UB1TyYKgCeX0IBjDvJenKrZFsQTKKXXDZNUZHI6q8FF0AzMaYcyyD0fvkAtNPzvc/pCtSpC0YcZGcqVIXYGkWp/zEpHzfEk/Chuf4IIOMfaFK5Qv8QwkRsmPVdOAwuIQnck0hnQVHPvYn8eSmBK6QvBINGWkAihbSgvXAcl0JzyvKnBTAw8h8B7A9PLTHnh+CV58c/A94VKutqaNBQK6n7fjXwUqaT9m3Tw2iSJuFjionUe5OWTE91I8WoFWRUlxrCdrIF14jXTqBKqg4Iqi6CwT2zJYmyV3WdoqNZKmHBOGKUc5s6OBVFtpB9DuOYUYiyntkEgKn/RKyu9spBYyDg4kzj10zl3ui8rp9uwcvp9sELlunRUrE8fHPdL8Kw52E9AX1JgPYO+uxp96aRjcN3dIg0nM3lS3u6K/QTBOj12HNN2mMVszCxi2kwhiuGxzZjNLYtZDsfUKgB25D9ObJNYpkG5tWsQgknI50i/kunkF/STMPCCfDUpV2GczLPiVujor6YjGvRFGnhjxPuqQUBoUBpM1d0bFdLKJc1Kl+GGYk2yNZchyErO3nc6mcglRUyHmjqlCymtzHPunwbep5Bpu3Hkhgtc4FS7wPAEJjkV3NtbuEG76gaziO434075ACnCCC7CCB239WhmvRLyk1WQe1tA7h0s5Avy6yMz8DbKYc4NmMyB760Cf/gn3ibtSvFdEq9c0nV10dbF/SlYMqOp473k0mXotlejS7ZDlxwMuuXMZE9wbhIuRgsx9bcIF/6hhAtcokmmwsXcvPuQAvbpKgbEFgyIg2WAPX6OXBZDxCq0z7aJIGfr4H68AIL3urRZBqXGUMHpV6A83wbK88OD8lEW62sSXRXVi21QvTgcVOljovomKL7tLsx0F9XleFvK+ydrwJ1fB05em1sPLlgObxxz1yy2lqh2sXSnQY/xYs1+zxLVLk7nVVuwAbC7avP7sXJ/OczdUbEnOxmE+vi0esTFm08w3OHscMEcNh3ucK+Gs2C4QacjUhF9EdHnQZzLEwfF2DV6qIFKjTbQYEFjG+6LPIAfXIluX1T2OU+XeXh3tflnRWulbt177bkVuzf32u+cjpxLttx0pq9zqDcsEHBM7DDD2NMem4IzlLur45wFllX9inQjRCI/3r2PrlM3yuSZIC0z9XVqK06L0Fas7mZY7W3Hau+AWF2UB6dZhXyJTQoC2HAwN83NaKXfEK/lNtWfuMJrsB2vwTfEq6xnpkmYQ0GOMMy/U16rMfjTdqx+2o3V8oBAQSvB9CEXBUs+dNT19hhzMCG2xTg1dt5nP1BWzzWrJxVWb7Zj9eYQWV20ufn/4axny9YN4Xa0hodIKy2Drr3Z7tOhEFeduF+LYS7XFWqu/pOcbv/84Y2cqaPhh6PWhyOYHNUhkX44Qi0Ev7QE+gd6fulei9//GK9MPr6Ah7pW/1400c+hs9pcz0/ObpApVWZBKw4VZrAu6UwO4KlzZLhW0lU0AAikuToboVF8F/hqV+GPkyN08XEzCuRKtErBSFHQeQ4kvKjLAr9Aa5i4ON2NiYt1JzH2P9XZHxEXR+i0QsQmQUxOIZeuEaLtAln0hKZOt5x14H1tqj91OjqvsJhsx2Ly5G6y8fr9WyZxyWbkSn8sIuDrNzttSMJrj7tlJqMudLoo87YQ6Idk3l0Z61+/2S3WF6reNxTd5+DX/mI9gHYk4fs41f3kDFOdF58PqbOTAS4NIwUlZ2u+TS0xvrPzR95elmYAnS6ac4DJ6RkHKqccq2zw7Hw3Gzxb8F3uu5lvnB2h8w0nfmSGgzfVne+X6Ef0oZO63l8lQV/Lq+HXlq6ZmSF+/auYs39FP7bmWVuwtb4bf+tOuOz3PMAG1BV/97WWOT0bMpnjWLAkt6hNqe045ZkZhxkcY2xYNrYcy3KmPykuDx7XbtRdun1VPTH9eXXMmDmI8Xk33Mvjnxp5dfcgZ3bVliS1GccMOxCtyk2PvR+OAafZ8ZDu5wr+/XXHuyrHdIsDXjPxugJFYzVTD3xO94EP4i6OVnQmWhVmLqIsF0F3EHVR5yc3ibOfVRyaxB6Aa5cQQ5/c1KthglPGucGI7VjMkX9Kp48iWYQzRi3TckwIFzZdFiYa039RJO/LPzt/9T9QSwcIhIDg88kKAAATPwAAUEsBAhQAFAAICAgA+a5bQ0XM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAD5rltDhIDg88kKAAATPwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAGELAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br><br />
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| {{Protokollieren|}}Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
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| {{Aufgaben-M|17|
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| Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
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| }}
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| Andere Schreibweise:
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| Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
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| {{Aufgaben-M|18|
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| Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| <br><br>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| <br><br>
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| <ggb_applet width="650" height="800" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br>
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| {{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
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| }}
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| <br /><br />
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| {{Aufgaben-M|19|
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| Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben:
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1]
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
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| }}
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| <br>
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| {{Aufgaben-M|8|
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| ''Rohfassung'' Betrachte noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben:
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| * Was waren die Problemstellungen?
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| * Was waren die ersten Lösungsansätze?
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| * Wie sieht die mathematische Lösung aus?
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| }}
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| == Ableitungsfunktion ==
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Ableitungsfunktion] | |
| ''Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.''
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| Kontext plus Übung
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| ''Diagnoseinstrument''
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