Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Oktober 2013, 13:30 Uhr

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Blumenvase

Barringer-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: $k(x)=0,002x^2$ für $0 \leq x \leq 300$

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

In die abgebildete Vase wird gleichmäßig Wasser eingelassen. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert.

Zeit (Sekunden)	Höhe (cm)
0	0,51
3	1,33
6	2,74
9	4,91
12	8,00
15	12,17
18	17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Vorlage:Aufgaben-M

a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 2,73 cm/s.
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,471 cm/s.
c) Zwischen Sekunde 15 und 18 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 17,58 cm - 12,17 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,389 cm/s zu.
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.

e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.

Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.

Vorlage:Aufgaben-M

a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 15 die Höhe 12,167 cm hat. In den drei Sekunden ist es also um 12,167 cm - 8 cm = 4,167 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 4,167 cm : 3 s = 1,389 cm/s.
b) 10,648 cm - 8 cm = 2,648 cm => 2,648 cm : 2 s = 1,324 cm/s
c) 1,261 cm/s
d) 1,2302 cm/s
e) 1,218 cm/s
f) 1,206 cm/s
g) 1,204 cm/s

h) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.

Vorlage:Aufgaben-M

a)
$w(12)=0,001(12+8)^3=8$
$w(12,001)=0,001(12,001+8)^3=8,00120006$
=> Höhenzunahme: $8 cm - 8,00120006 cm = 0,00120006 cm$
=> mittlere Änderungsrate: $0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s$

b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.

Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x₀|k(x₀)) und B(x₁|k(x₁)) kann mit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}$ berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}$ ist dann die Sekantensteigung.

Vorlage:Aufgaben-M

In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Vorlage:Kasten blau

Vorlage:Aufgaben-M

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Vorlage:Aufgaben-M

Die Steigung ist (ungefähr) 3.
Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
Die Steigung ist (ungefähr) 2.

Vorlage:Aufgaben-M

Die Steigung ist $m=\frac{4-1}{2-1}=3$ .
Wählt man $x_1=1,5$ , so ergibt sich $m=2,5$ .
Wenn man x₁ sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.

Vorlage:Kasten blau

Anstatt x₁ immer mehr x₀ anzunähern, kann man auch die Differenz $h=\Delta x=x_1-x_0$ klein werden lassen. Es ist dann $x_1=x_0+h$ .

Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Untersuchen Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?

Sekantensteigung $m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Man würde durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.

Vorlage:Aufgaben-M

Die Sekantensteigung ist $m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}$ .

Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n	h	x₁	Sekantensteigung m
0	1	2	3
1	0,1	1,1	2,1
2	0,01	1,01	2,01
3	0,001	1,001	2,001
4	0,0001	1,0001	2,0001
5	0,00001	1,00001	2,00001

Vorlage:Aufgaben-M

Differenzenquotient

Vorlage:Aufgaben-M

Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.

Differentialquotient

Vorlage:Kastendesign1

Der Differentialquotient f'(x₀)

beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.

Vorlage:Aufgaben-M

Andere Schreibweise:

Statt den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte $h=x_1-x_0$ immer kleiner werden lassen.

Vorlage:Aufgaben-M

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.

Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.

Vorlage:Aufgaben-M

Ableitungsfunktion

Vorlage:Aufgaben-M Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösung.

Vorlage:Aufgaben-M

Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösung.

Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.

Kontext plus Übung

Diagnoseinstrument

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-Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man ''Sekante''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die Sekantensteigung.
+Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
 {{Aufgaben-M|1|
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 <br>
 {{Kasten_blau|
-Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
+Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
 }}
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 }}
+==== Verallgemeinerung ====
+Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.
 <br><br>
 {{Aufgaben-M|3|
 Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.
-* Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
+* Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
-* Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und C(1,5;f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
+* Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und C(1,5<nowiki>|</nowiki>f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
-* Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
+* Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
 }}
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 {{Aufgaben-M|4|
 Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>.
-* Bestimmen Sie  rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
+* Bestimmen Sie  rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
-* Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
+* Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
 * Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
 }}
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 {{Aufgaben-M|5|
-Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>,
+* Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>,
 <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.
+* Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch die Punkte A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und A(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)+h) gehen soll.
+* Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
 }}
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 :{{Lösung versteckt|1=
 <ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+<br ><br>
+{{untersuchen|}} Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
+* Sekantensteigung <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
+* Man würde durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
 }}
@@ Zeile 203: / Zeile 215: @@
   ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
-Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben.
+Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
 }}

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Einstiegsaufgaben

Blumenvase

Barringer-Krater

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Verallgemeinerung

Differenzenquotient

Differentialquotient

Ableitungsfunktion

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